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Demuestra que $f(x)=\pi-2\arctan(\sqrt{x-1})$

Dado, para cada $x>1$ , $$f(x)=4\arctan\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}$$ Demuestra que $f(x)=\pi-2\arctan(\sqrt{x-1})$

He intentado utilizar el hecho de que $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2 }$

Así que obtengo: $f(x)=4(\frac{\pi}{2}-\arctan(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})$

¡Estoy atrapado aquí!

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egreg Puntos 64348

Su afirmación equivale a demostrar que, para $$ g(x)=2\arctan\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} $$ también tenemos $$ g(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{x-1} $$

Tenga en cuenta que $$ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\sqrt{x}-\sqrt{x-1} $$

Establecer $h(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}$ y demostrar que, para $x>1$ , $0<h(x)<1$ . De ello se desprende que $0<g(x)<\pi/2$ .

Ahora \begin{align} \tan g(x) &=\tan(2\arctan h(x))\\[6px] &=\frac{2\tan\arctan(h(x))}{1-\tan^2(\arctan h(x))}\\[6px] &=\frac{2h(x)}{1-(h(x))^2}\\[6px] &=2\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}{1-x-(x-1)+2\sqrt{x(x-1)}}\\[6px] &=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})}\\[6px] &=\frac{1}{\sqrt{x-1}} \end{align} Por lo tanto, $$ \tan\left(\frac{\pi}{2}-g(x)\right)= \cot g(x)=\sqrt{x-1} $$ y así $$ \frac{\pi}{2}-g(x)=\arctan\sqrt{x-1} $$

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MrYouMath Puntos 1809

Pista: Diferencia ambas expresiones. Si la derivada es la misma, entonces las funciones sólo pueden diferenciarse por una constante. Introduce $x=1$ para determinar la constante. Si ambas expresiones son iguales la constante debe ser 0.

EDIT: Gracias a @Olivier Oloa, parece que ambas expresiones no son iguales o tienes una errata.

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DonAntonio Puntos 104482

Observe que

$$\frac1{\sqrt{x-1}+\sqrt x}=\sqrt x-\sqrt{x-1}$$

y por lo tanto

$$\left(4\arctan(\sqrt x-\sqrt{x-1})\right)'=4\left(\frac1{2\sqrt x}-\frac1{2\sqrt{x-1}}\right)\cdot\frac1{1+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^2}=$$

$$=2\left(\frac1{\sqrt x}-\frac1{\sqrt{x-1}}\right)\frac1{2\sqrt x(\sqrt x-\sqrt{x-1})}=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt x}{x\sqrt{x-1}(\sqrt x-\sqrt{x-1})}=$$

$$=\color{red}{-\frac1{x\sqrt{x-1}}}$$

Y por otro lado:

$$\left(\pi-2\arctan\sqrt{x-1}\right)'=-\frac1{\sqrt{x-1}}\frac1{1+x-1}=\color{red}{-\frac1{x\sqrt{x-1}}}$$

Por lo tanto, ambas formas de la $\;f\;$ tienen la misma derivada y, por tanto, sólo se diferencian por una constante, digamos $\;K\;$ :

$$\pi-2\arctan\sqrt{x-1}=4\arctan(\sqrt x-\sqrt{x-1})+K$$

y observar que en la forma anterior ambos lados están bien definidos para $\;x=1\;$ por lo que sustituyendo $\;x=1\;$ :

$$\pi=\pi-2\arctan0=4\arctan(1)+K=4\frac\pi4+K=\pi+K\implies K=0$$

y obtenemos la igualdad deseada

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Matteo Puntos 56

Utilizar la trigonometría es mucho más fácil y más revelando sobre el significado geométrico de este tipo de identidades. Considere la siguiente figura.

enter image description here

El triángulo rectángulo $\triangle ABC$ tiene lados $\overline{AB} = 1$ y $\overline{BC} = \sqrt{x-1}$ para que $$\alpha = \arctan \sqrt{x-1},$$ y, por el Teorema de Pitágoras, $\overline{AC} = \sqrt x$ .

Ampliar ahora $BC$ a un segmento $\overline{CD} = \overline{AC} = \sqrt x$ , por lo que $$\beta = \arctan \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt x}.$$ Utilice finalmente el hecho de que $\triangle ACD$ es isósceles y que $\triangle ABD$ está en ángulo recto para escribir $$ 2\beta + \alpha = \frac{\pi}{2},$$ que es exactamente equivalente a su identidad, una vez que se introducen las definiciones de $\alpha$ y $\beta$ . Tan simple como eso. $\blacksquare$

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