Observe que
$$\frac1{\sqrt{x-1}+\sqrt x}=\sqrt x-\sqrt{x-1}$$
y por lo tanto
$$\left(4\arctan(\sqrt x-\sqrt{x-1})\right)'=4\left(\frac1{2\sqrt x}-\frac1{2\sqrt{x-1}}\right)\cdot\frac1{1+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^2}=$$
$$=2\left(\frac1{\sqrt x}-\frac1{\sqrt{x-1}}\right)\frac1{2\sqrt x(\sqrt x-\sqrt{x-1})}=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt x}{x\sqrt{x-1}(\sqrt x-\sqrt{x-1})}=$$
$$=\color{red}{-\frac1{x\sqrt{x-1}}}$$
Y por otro lado:
$$\left(\pi-2\arctan\sqrt{x-1}\right)'=-\frac1{\sqrt{x-1}}\frac1{1+x-1}=\color{red}{-\frac1{x\sqrt{x-1}}}$$
Por lo tanto, ambas formas de la $\;f\;$ tienen la misma derivada y, por tanto, sólo se diferencian por una constante, digamos $\;K\;$ :
$$\pi-2\arctan\sqrt{x-1}=4\arctan(\sqrt x-\sqrt{x-1})+K$$
y observar que en la forma anterior ambos lados están bien definidos para $\;x=1\;$ por lo que sustituyendo $\;x=1\;$ :
$$\pi=\pi-2\arctan0=4\arctan(1)+K=4\frac\pi4+K=\pi+K\implies K=0$$
y obtenemos la igualdad deseada