La órbita de un vector $(x,y) \in X$ es el conjunto de todos los $(a,b) \in X$ que puede ser "alcanzada" por la acción del grupo. En otras palabras, la órbita de $(x,y)$ es el conjunto de todos los $(a,b)$ tal que $(a,b) = g(x,y)$ para algunos $g\in G$ .
El estabilizador de un vector $(x,y) \in X$ es el conjunto (que resulta ser un subgrupo) de todos los $g \in G$ tal que $g(x,y) = (x,y)$ .
Su problema puede dividirse naturalmente en cuatro casos.
Caso 1 : $x = y = 0$ .
Desde $g(0,0) = (0,0)$ por cada $g \in G$ la órbita de $(0,0)$ es sólo el singleton $\{(0,0)\}$ .
El estabilizador de $(0,0)$ es el conjunto de todos los $g\in G$ tal que $g(0,0) = (0,0)$ . Como esto es cierto para cualquier $g\in G$ el estabilizador de $(0,0)$ es todo el grupo $G$ .
Caso 2 : $x = 0, y \neq 0$
Desde $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ by \\ \end{pmatrix}$$ y $b$ es cualquier número real no nulo, la órbita de cualquier vector de la forma $(0,y)$ (donde $y \neq 0$ ) es el conjunto de todo vectores de la forma $(0,z)$ donde $z$ es cualquier número no nulo.
El estabilizador de dicho vector $(0,y)$ es el conjunto de todos los $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix}$ tal que $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix}$$ Esto obliga a $b=1$ pero $a$ puede ser cualquier cosa. Así que el estabilizador de $(0,y)$ es el conjunto de todas las matrices en $G$ de la forma $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Se puede comprobar fácilmente que este conjunto es efectivamente un subgrupo de $G$ como cualquier estabilizador. Te dejaré resolver los detalles de los otros dos casos, que son:
Caso 3 : $x \neq 0, y = 0$
y
Caso 4 : $x \neq 0, y \neq 0$
Dos "comprobaciones de cordura" que puedes utilizar una vez que creas que tienes una solución:
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Las órbitas partición el conjunto $X$ . En otras palabras, cada elemento de $X$ pertenece exactamente a una órbita.
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El estabilizador de cada elemento de $X$ es un subgrupo de $G$ .
Una nota más: En general es posible que diferentes elementos de $X$ para tener el mismo estabilizador. Los elementos que están en la misma órbita no tienen necesariamente el mismo estabilizador, y los elementos en órbitas diferentes pueden tener el mismo estabilizador.