Órbita y estabilizador de $2\times2 * 2\times1$ matrices

Question

Tengo la acción de grupo de la multiplicación de matrices, es decir:

$g((x,y))=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$G=\left\{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R} - \{0\} \right\} g=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\in G$ y $X=\{(x,y):x,y\in\mathbb{R}\}$

Quiero trabajar las órbitas y el estabilizador.

Sólo he hecho esto con grupos de permutación, así que no tengo ni idea de cómo hacerlo:

Definición de órbita $orb((x,y))=\{g((x,y)):g\in G\}$

Así que tengo $org((x,y))$ ¿Igualar la matriz de identidad?

$stab((x,y))=\{g\in G:g((x,y))=(x,y)\}$

Eso hace que $stab((x,y))$ ¿parece la identidad sin embargo? ¿Qué estoy entendiendo mal?

Answer 1

Si se escribe la acción de grupo como $$g * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax \\ by \end{pmatrix}$$

Para el estabilizador, buscamos elementos $g \in G$ tal que $$g * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ Esto significa que buscamos $a$ y $b$ tal que $ax = x$ y $bx = x$ . Si $x$ es distinto de cero, entonces debemos tener que $a = 1$ y, de forma similar, no nula $y$ implica que nuestro deseado $b$ es igual a $1$ . Si $x =0$ entonces podemos elegir cualquier $a$ (como $ax = a \cdot 0 = 0$ para cada uno de los valores no nulos de $a$ ), y si $y = 0$ podemos elegir cualquier valor de $b$ . Para resumir esto, considerando que se trata de un número arbitrario y no nulo de $x$ y $y$ tenemos

$$\mathrm{stab}_{G}\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \: \: \mathrm{stab}_{G}\left( \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \bigg| b \in \mathbb{R} - \{0\} \right\}$$ $$\mathrm{stab}_{G}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} \right) = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\bigg| a \in \mathbb{R} - 0 \right\}, \:\mathrm{stab}_{G}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \bigg|\: a,b \in \mathbb{R} - 0 \right\}$$

Ahora, la órbita es el conjunto de elementos $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ tal que existe $g \in G$ para lo cual $$g * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$$ Porque $a$ y $b$ puede ser cualquier número real no nulo, tenemos entonces que $$\mathrm{orb}_{G} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \left\{ \begin{pmatrix} ax \\ by \end{pmatrix} \bigg| \: a,b \in \mathbb{R} - \{0\} \right\}$$

Answer 2

La órbita de un vector $(x,y) \in X$ es el conjunto de todos los $(a,b) \in X$ que puede ser "alcanzada" por la acción del grupo. En otras palabras, la órbita de $(x,y)$ es el conjunto de todos los $(a,b)$ tal que $(a,b) = g(x,y)$ para algunos $g\in G$ .

El estabilizador de un vector $(x,y) \in X$ es el conjunto (que resulta ser un subgrupo) de todos los $g \in G$ tal que $g(x,y) = (x,y)$ .

Su problema puede dividirse naturalmente en cuatro casos.

Caso 1 : $x = y = 0$ .

Desde $g(0,0) = (0,0)$ por cada $g \in G$ la órbita de $(0,0)$ es sólo el singleton $\{(0,0)\}$ .

El estabilizador de $(0,0)$ es el conjunto de todos los $g\in G$ tal que $g(0,0) = (0,0)$ . Como esto es cierto para cualquier $g\in G$ el estabilizador de $(0,0)$ es todo el grupo $G$ .

Caso 2 : $x = 0, y \neq 0$

Desde $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ by \\ \end{pmatrix}$$ y $b$ es cualquier número real no nulo, la órbita de cualquier vector de la forma $(0,y)$ (donde $y \neq 0$ ) es el conjunto de todo vectores de la forma $(0,z)$ donde $z$ es cualquier número no nulo.

El estabilizador de dicho vector $(0,y)$ es el conjunto de todos los $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix}$ tal que $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ \end{pmatrix}$$ Esto obliga a $b=1$ pero $a$ puede ser cualquier cosa. Así que el estabilizador de $(0,y)$ es el conjunto de todas las matrices en $G$ de la forma $$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Se puede comprobar fácilmente que este conjunto es efectivamente un subgrupo de $G$ como cualquier estabilizador. Te dejaré resolver los detalles de los otros dos casos, que son:

Caso 3 : $x \neq 0, y = 0$

y

Caso 4 : $x \neq 0, y \neq 0$

Dos "comprobaciones de cordura" que puedes utilizar una vez que creas que tienes una solución:

1. Las órbitas partición el conjunto $X$ . En otras palabras, cada elemento de $X$ pertenece exactamente a una órbita.

2. El estabilizador de cada elemento de $X$ es un subgrupo de $G$ .

Una nota más: En general es posible que diferentes elementos de $X$ para tener el mismo estabilizador. Los elementos que están en la misma órbita no tienen necesariamente el mismo estabilizador, y los elementos en órbitas diferentes pueden tener el mismo estabilizador.