Luchando por entender la prueba, no hay un simple grupo de orden $525$

Question

Demostrar que no hay ningún grupo simple de orden $525.$

$N(H)$ es el normalizador de un conjunto $H$ .

Prueba:Sea $L_7$ ser un Sylow $7$ subgrupo de $G$ . De ello se desprende que $|N(L_7)|=35$ por los teoremas de Sylow. Sea $L$ sea un subgrupo de $N(L_7)$ de orden $5$ . Desde $N(L_7)$ es cíclico $N(L) \geq N(L_7)$ ( no entiendo esta parte de la prueba), por lo que $35$ divide $|N(L)|$ . Pero L está contenida en un sylow $5$ subgrupo que es abeliano, por lo tanto $25$ divide $|N(L)|$ también. De ello se desprende que $175$ divide $|N(L)|$ Ahora el teorema del índice da una contradicción.

Estoy teniendo mucha confusión demostrando que los grupos no abelianos de órdenes específicos no son simples, porque todos los nuevos hechos que aparecen son sobre normalizadores, que nunca he aprendido antes. ¿Cómo puedo aprender mejor a derivar hechos sobre normalizadores?

En particular, en esta prueba, sé por qué $|N(L_7)|=35$ No necesito ayuda en eso, pero ¿por qué se mantiene esta línea?

Dejemos que $L$ sea un subgrupo de orden $5$ . Desde $N(L_7)$ es cíclico $N(L) \geq N(L_7)$ para que $N(L_7)$ es un subgrupo de $N(L)$ ?

Answer 1

Tal vez la forma de empezar sea demostrar que cualquier grupo de orden 35 es cíclico. Entonces, como $N(L_7)$ es cíclico, cualquier subgrupo de $N(L_7)$ es también un subgrupo normal. A partir de esto y de la definición del normalizador de un subgrupo, deberías poder concluir que $N(L_7)$ está contenida en $N(L)$ .