Demostrar que el cono $$\{(x,y,z):x^2+y^2=z^2, z\ge 0\}$$ es homeomorfo al plano
Sé que un homeomorfismo es una función biyectiva cuya inversa también es continua. Pero no puedo imaginar una correspondencia entre ellos.
Gracias por su ayuda.
Respuesta
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Me gustaría recordar una definición y un teorema de interés:
Definición: si $f : X \to Y$ es cualquier función y $Y \subset X$ es cualquier subconjunto, la restricción de $f$ a $Y$ es $$f|_{y}: Y \to Z \\ f|_{y}(x)=f(x)$$
Partiendo de esta definición, terminamos con:
Teorema 1: si $X,Z$ son espacios topológicos y $Y \subset Z$ tiene una topología de subespacio y si $f : X \to Z $ es continua, entonces $f|_{y} : Y \to Z$ también es continua
Si quieres demostrar esto déjame dar un esquema. para el Teorema 1 considera el mapa $$ i: Y \to X \\ x \to x$$ donde $Y \subset X$ . Entonces considere $f \circ i$ ( $f$ composición $i$ ).
Denotemos ahora el cono por $C$ .
Considere el mapa $$F : R^3 \to R^2 \\ (u,v,z) \to (u+v,u+v-z)$$
Ahora $F$ es continua ya que sus coordenadas lo son. $F$ también es una biyección. $F^{-1}$ existe. $F^{-1}$ también es continua. Ahora restringe $F$ al cono:
$$ G := F|_{C} : C \to R^2 $$
$G$ es continua se deduce del teorema. Ahora restringe $F^{-1}$ en $C$
$$H := F^{-1}|_C : R^2 \to C$$
Por teorema $H$ es continua. Así que, efectivamente $C$ y $R^2$ son homeomórficos entre sí.
