¿Puedo demostrar que una función es continua mirando el dominio?

Question

Encontré la siguiente pregunta en un libro de cálculo: Para la función $$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$$ demostrar que es continua en el intervalo $$-1x1$$ La solución del libro mostraba que los límites de un lado eran equivalentes a f(x) en los puntos x= -1 y 1. También mostraba que existe un límite en el punto c que es igual a f(c). Lo demostraron mostrando que los límites de la izquierda y de la derecha son equivalentes en c. $$-1<c<1$$ Mi pregunta es, ¿por qué necesitas usar límites para determinar que esta función es continua de $$-1x1$$ ¿No se puede decir que el dominio de esta función es $$-1x1$$ y por lo tanto es continuo?

Answer 1

Hay muchas funciones que están definidas en un intervalo pero que son discontinuas en él. Consideremos $$f(x)=\begin{cases} x-5 & -1 \le x < 0 \\ x+2 & 0 \le x \le 1 \end{cases}$$ El dominio de esta función es $[-1,1]$ pero no es continua en $x=0$ .

Answer 2

Creo que estás usando esencialmente una lógica circular y sólo imaginas funciones continuas. Una función puede tener literalmente los valores que quiera en su dominio y ser perfectamente válida. Para un ejemplo extremo, considere $$f(x)=\begin{cases} 1\text{,}\hfill &\text{if }x\text{ is rational;}\\ 0\text{,}\hfill &\text{if }x\text{ is irrational.}\\ \end{cases}$$

Entonces $f$ tiene un dominio natural de toda la recta real, pero tiene una discontinuidad en cada intervalo.