¿Existe un enfoque axiomático de la noción de dimensión?

Question

Hay muchas nociones de dimensión: algebraica, topológica, Hausdorff, Minkowski... (y otras). Mientras que la topológica generaliza la algebraica, las tres últimas no tienen por qué coincidir para todos los conjuntos. Sin embargo, se reconoce generalmente que la dimensión de Hausdorff tiene propiedades "suficientemente agradables" para trabajar con ella (el interés de la dimensión de Minkowski reside principalmente en el hecho de que es más fácil de calcular).

Así que mi pregunta principal es la siguiente: ¿existe un enfoque axiomático que ordene este desorden? Por ejemplo, ¿existe un resultado de la forma: si se piden estos axiomas, entonces el único mapa de los "conjuntos razonables" al conjunto de enteros reales positivos es la dimensión de Hausdorff? (¿u otra?). Si es así, ¿cuáles son?

¿Existe también una lista claramente identificada de propiedades que le pediría a cualquier noción de dimensión? Pongo como ejemplo lo siguiente :

• debe coincidir con la dimensión algebraica para espacios vectoriales de dimensión finita
• dim A $\leq$ dim B si $A \subset B$
• algún tipo de comportamiento agradable para los productos cartesianos (al menos para los conjuntos razonables)
• algún tipo de comportamiento agradable para infinitas uniones crecientes y/o intersecciones decrecientes

Answer 1

Esto podría ayudar http://www.springerlink.com/content/y8l2621113212403/ El autor afirma haber encontrado los axiomas para definir la dimensión de cobertura de Lebesgue. En el párrafo que comienza con "el problema axiomático es un viejo problema en la teoría de la dimensión" hay también una lista de referencias que deberían ayudar. En particular, el artículo de Henderson, que contendría los axiomas para una noción de dimensión en cualquier espacio metrizable, como una extensión de la dimensión de cobertura.

Answer 2

No es una respuesta completa, pero hay una generalización sorprendente de la dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita disponible en cualquier categoría monoidal (¿trenzada?). En cualquier categoría de este tipo, existe una noción de dimensión de un objeto dualizable $c$ dada por la traza del endomorfismo de identidad $\text{tr}(\text{id}_c)$ . Toma valores en $\text{End}(1)$ donde $1$ es la unidad monoidal y se comporta como se espera bajo el producto tensorial. En la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo $K$ da la imagen de la dimensión en $K$ .

En particular, esta noción de dimensión incluye como casos especiales varios tipos de Característica de Euler. Por ejemplo, la dimensión de un complejo de cadenas dualizable (creo que esto equivale a: complejo acotado de módulos proyectivos finitamente generados) es su característica de Euler, al igual que la dimensión de un objeto dualizable en la categoría simétrica monoidal de espectros dualizables. En la obra de Ponto y Shulman Trazos en categorías monoidales simétricas que, en particular, describe cómo utilizar estas ideas para entender el teorema del punto fijo de Lefschetz.

Answer 3

Mi intuición es que ninguna lista de axiomas podría cubrir simultáneamente la dimensión de Lebesgue, la dimensión del espacio vectorial, la dimensión de Krull, la dimensión fractal,...

No me queda claro, por ejemplo, cómo los axiomas decidirían si $\mathbb C$ tiene dimensión $0$ como exige Krull, dimensión $1$ como desean los geómetras complejos o la dimensión $2$ , la elección de los topólogos.
(Y ni siquiera he empezado a examinar la afirmación de los lógicos de que tiene dimensión $2^{\aleph_0}$ en $\mathbb Q$ )

Pero esto es subjetivo, así que déjame decir algo indiscutible: tu axioma $A\subset B\Rightarrow dim A \leq dim B$ no es válida para la dimensión de Krull .
De hecho, si $A$ es cualquier dominio de dimensión Krull $n\gt 0$ y si $K$ es su campo de fracciones, tenemos $dim K=0$ y la desigualdad $dim A=n \leq dim K=0$ no es cierto.

Answer 4

En la geometría métrica, la dimensión debe satisfacer los siguientes axiomas de lo contrario, no debería llamarse "dimensión". (Hay excepciones, por ejemplo la dimensión de Minkowski).

Axioma de normalización. Para cualquier $m\in\mathbb Z_\ge$ , $$\dim\mathbb E^m=m.$$

Axioma de la portada. Si $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ es una cubierta cerrada contable de $X$ entonces $$\dim X=\sup\nolimits_n\{\dim A_n\}$$

Axioma del producto. Para cualquier espacio $X$ y $Y$ , $$\dim (X\times Y) \le \dim X+ \dim Y.$$

Answer 5

Existe una noción de "dimensión de Krull" válida para espacios topológicos arbitrarios, cuya definición es totalmente análoga a la de las variedades algebraicas, pero utilizando retículos de subconjuntos cerrados en lugar de anillos de funciones.

Que yo sepa, es la única función de dimensión $\dim$ definido para espacios topológicos arbitrarios, con las siguientes propiedades:

• Si $Y $ es una subsapia de $X$ entonces $ \dim Y \leq \dim X $ .

• $\dim (X \times Y) \leq \dim X + \dim Y $ .

• Coincide con la dimensión combinatoria de Grothendieck en los espacios noetherianos, y con las dimensiones estándar ( portada y ind ) en espacios métricos separables.

Esta hermosa idea se remonta a los años 60. Puede consultar los siguientes documentos y las referencias que contienen.

Sección 2 de:

• Sancho de Salas, J.B. y M.T.: " Dimensión de las subálgebras densas de $C(X)$ ", en Actas de la Sociedad Matemática Americana , 105 (1989)

o la introducción de:

• Sancho de Salas, J.B. y M.T.: " Dimensión de retículos distributivos y espacios universales ", en Topología y sus aplicaciones , 42 (1991), 25-36