¿Qué es un "subscheme"?

Question

Cada una de las fuentes que yo he mirado define abrir subschemes y cerrado subschemes, pero las definiciones siempre se ven ad-hoc y que no están estrechamente relacionados el uno al otro. Hay otros tipos de subschemes? Si no, podemos dar una definición de un "subscheme" y entonces deducir que los únicos que existen son abiertos y cerrados subschemes?

Por ejemplo, EGA I, Definición 4.1.3, dice (más o menos):

Decimos que un espacio anillado $(Y, \mathcal{O}_Y)$ es un subprescheme de un prescheme $(X, \mathcal{O}_X)$ si:

1. $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$, y
2. Si $U$ denota el mayor conjunto abierto de $X$ contiene $Y$ que $X$ es cerrado en $U$, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ es un subprescheme de $(U, \mathcal{O}_X|_U)$ definido por un quasicoherent haz de ideales de a $\mathcal{O}_X|_U$.

Hay alguna manera de caracterizar en términos de morfismos sin tener que construir en el local cerrado de la condición desde el principio?

Answer 1

Creo que una definición razonable de una inmersión de los anillos de espacios topológicos $f : X\to Y$ es :

1. $f$ induce un homeomorphism $X\to f(X)$;

2. Para cualquier $x\in X$, la canónica homomorphism $O_{Y, f(x)}\to O_{X,x}$ es surjective.

En la categoría de esquemas, esto implica que $f$ es un monomorphism (ver http://stacks.math.columbia.edu/tag/01L6). Que nos llame a tales morfismos de esquemas de R-inmersiones (R para rodeada de espacios topológicos). Las inmersiones de los planes en el estándar de sentido (EGA, pilas de proyecto) R-inmersiones.

Hecho 1. Si $X, Y$ son variedades algebraicas sobre el campo $k$ (esquemas de finito de tipo más de $k$), entonces cualquier R-inmersión $f: X\to Y$ es en realidad una inmersión.

Hecho 2. Más generalmente, un R-inmersión $f :X\to Y$ es una inmersión si y sólo si $f$ es localmente finitos tipo.

Ahora, ¿por qué las inmersiones se prefiera R-inmersiones ? Realmente no lo sé. Hecho 1 anterior podría ser una explicación. Una pregunta que no sé la respuesta es si R-inmersiones son estables por cambio de base (este es el caso de inmersiones). Si la respuesta es no, entonces esta es una razón más para preferir inmersiones a R-inmersiones.

Ejemplo de un R-inmersión, que no es una inmersión. Deje $X$ ser un esquema y deje $x\in X$. Luego de la canónica de morfismos $i_x: \mathrm{Spec}(O_{X,x})\to X$ $R$- inmersión. Sin embargo, si por ejemplo, $X$ es un infinito integral de sistema, y si $\xi$ es genérico punto, a continuación, $i_\xi$ no es una inmersión, porque $\{ \xi\}$ no está cerrado en $X$.

Edit: a último momento.

La pregunta inicial que puede interpretarse como sigue: dado un subconjunto $X$ en un esquema de $(Y, O_Y)$, es posible dotar a $X$ con la estructura de un esquema de $(X, O_X)$, siendo este último relacionado de alguna manera a $(Y, O_Y)$ ? Un primer requisito natural es la principal característica topológica del espacio de $X$ es dado a la inducida por la topología, esta es la Condición (1) en mi tentativa de definición de $R$-inmersión. Para la sheaf de funciones regulares, también es natural pedir que las funciones regulares en $X$ "inducida" por funciones regulares en $Y$ y mi Condición de (2) es un candidato natural.

Luego resulta que la respuesta es positiva para el cerrado de los subconjuntos de a $Y$. No veo otra categoría natural de subconjuntos para que la respuesta es positiva. De todos modos parece difícil de caracterizar los subconjuntos de a $Y$ para que la respuesta es positiva. Una condición necesaria es ser pro-edificable (aproximadamente hablando, posiblemente infinita intersección de la edificable subconjuntos), pero incluso edificable no es suficiente para obtener la estructura de subscheme en el sentido de $R$-inmersión (se puede demostrar que esta para el ejemplo clásico de construibles pero no localmente cerrado subconjunto del plano afín: quitar el $x$-hacha y agregar el origen de la espalda).

Answer 2

Creo que no es abstracto tonterías respuesta. Cerrado inmersiones sólo surgen naturalmente cuando uno quiere para el estudio de variedades algebraicas. El modelo local se ve de la siguiente manera: trabajamos en afín $n$espacio $\mathbb{A}^n_k$ y considerar no sólo cerró los subconjuntos $\{x \in \mathbb{A}^n_k : p_1(x)=\dotsc=p_r(x) = 0\}$, pero también permitir que las desigualdades mediante la consideración de $\{x \in \mathbb{A}^n_k : p_1(x)=\dotsc=p_r(x) = 0 , f_1(x) \neq 0, \dotsc,f_s(x) \neq 0\}$. Esto es de nuevo una variedad afín con coordenadas anillo de $\{f_1,\dotsc,f_s\}^{-1} k[x_1,\dotsc,x_n]/(p_1,\dotsc,p_n)$. Más generalmente, si $X$ es cualquier régimen y $Z$ es un local cerrado subconjunto del conjunto subyacente de $X$, entonces uno puede dotar $Z$ con un esquema de la estructura y la inclusión $Z \to X$ se convierte en un monomorphism de esquemas. Por supuesto, uno podría intentar caracterizar todos los subconjuntos con esta propiedad. Los ejemplos son infinitos intersecciones de abrir afín esquemas. O uno puede intentar caracterizar monomorphisms de esquemas, ver aquí un poco de información.