Supongamos que todas las derivadas parciales de $f$ existen en $x_0$ es $f$ continua en $x_0$ ?

Question

Considere $f : C \to \mathbb{R}$ con $C \subset \mathbb{R}^n$ estar abierto:

1. Supongamos que $f$ es diferenciable en $\mathbf{x}_0 \in C$ . Es $f$ continua en $\mathbf{x}_0$ ? ¿Por qué?

2. Supongamos que todas las derivadas parciales de $f$ existen en $\mathbf{x}_0 \in C$ pero $\nabla f = 0$ . Es $f$ continua en $\mathbf{x}_0$ ? ¿Por qué?

3. Supongamos que todas las derivadas parciales de $f$ existen en $\mathbf{x}_0 \in C$ y $\nabla f \ne 0$ . Es $f$ continua en $\mathbf{x}_0$ ? ¿Por qué?

La respuesta a (1) es clara: sí, porque la diferenciabilidad es suficiente para la continuidad. Esto se deduce de la definición de diferenciabilidad (¿es una respuesta suficiente?).

Sin embargo, para (2) y (3) estoy perplejo. Recuerdo del análisis real que cuando todas las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función es diferenciable (y la diferenciabilidad implica continuidad). Sin embargo, no sé si las parciales son continuas. Sólo sé que en un caso $\nabla f \ne 0$ y en otro caso $\nabla f = 0$ .

Gracias por su ayuda.

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Editar : De echar un vistazo a esta pregunta Parece que algunos contraejemplos (donde las derivadas direccionales existen y son iguales $0$ ) muestran que las respuestas a (2) y (3) son no y no. He elaborado algunos contraejemplos y los he publicado como respuesta a continuación. Por favor, hazme saber si están bien. Gracias.

Edición 2 : Marc van Leeuwen mencionó que mi respuesta podría no ser correcta debido a algunos tecnicismos relacionados con el gradiente. Por favor, eche un vistazo y díganos lo que piensa. Gracias.

Answer 1

1. Sí, ya que la diferenciabilidad es suficiente para la continuidad.

2. No necesariamente. Considere la función \begin{equation} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} 0 & x=0\textrm{ or }y=0\\ 1 & otherwise \end{array} \derecho. \Fin ecuación Ya que $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{0}{h}=0$ y de manera similar $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ entonces \begin{equation} \nabla f(0,0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right)=(0,0) \end{equation} Sin embargo, como $\lim_{x \to 0} f(x,x) = 1 \ne 0=f(0,0)$ entonces $f$ no es continua en $(0,0)$ .

3. No necesariamente. Considere la función \begin{equation} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{lr} x+y & x=0\textrm{ or }y=0\\ 1 & otherwise \end{array} \derecha. \Fin ecuación Ya que $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h}=1$ y de manera similar $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$ entonces \begin{equation} \nabla f(0,0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right)=(1,1) \end{equation} Sin embargo, como $\lim_{x \to 0} f(x,x) = 1 \ne 0=f(0,0)$ entonces $f$ no es continua en $(0,0)$ .