Dejemos que $(s_n)$ sea una secuencia que converge...

Question

Ejercicio 8.9 de Análisis elemental: La teoría del cálculo por Kenneth A. Ross:

Dejemos que $(s_n)$ sea una secuencia que converge.

(a) Demuestre que si $s_n \geq a$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ entonces $\lim s_n \geq a$ .
(b) Demuestre que si $s_n \leq b$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ entonces $\lim s_n \leq b$ .
(c) Concluya que si todos, excepto un número finito de $s_n$ pertenecen a $[a, b]$ entonces $\lim s_n$ pertenece a $[a, b]$ .

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Esto es lo que tengo hasta ahora:

Considere el conjunto $S = \{n \in \mathbb N : s_n < a\}$ . Por supuesto, $S$ es un subconjunto finito no vacío de $\mathbb R$ . Así que debe tener un máximo, digamos $M$ . Supongamos ahora que $s = \lim s_n$ y $s < a$ . Entonces, para cada $\epsilon > 0$ existe $N_0 \in \mathbb N$ tal que $$n > N_0\; \text{implies} \mid s_n - s\mid < \epsilon\text{,}$$ o, en el caso de que $\epsilon = a - s > 0$ , $$n > N_0\; \text{implies} \mid s_n - s\mid < a - s \text{.}$$ Definir $N := \max \{N_0, M\}$ . Entonces $$n > N\; \text{implies}\; s_n \geq a\; \text{and} \mid s_n - s\mid < a - s \text{.}$$ Esta última desigualdad implica, en particular, $s_n < a$ para todos $n > N$ . Pero esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición de que $s < a$ debe ser falso. Por lo tanto, $s \geq a$ . $\square$

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Esperaba que alguien pudiera ayudarme a darle sentido a esto. El libro sugería hacer un dibujo, pero no he podido averiguar cómo. ¿Cómo se vería esto tanto en la línea numérica como en el $n$ - $s_n$ ¿Avión? Además, ¿hay una forma mejor de demostrar la parte (a)?

Answer 1

Su prueba es buena pero se puede acortar. Deja que $N_1$ sea un número entero positivo tal que $s_n \ge a$ para todos $n \ge N_1$ . Sea $\varepsilon > 0$ . Existe un número entero positivo $N_2$ tal que $s > s_n - \varepsilon$ para todos $n \ge N_2$ . Si $n \ge \max\{N_1,N_2\}$ entonces $s > s_n - \varepsilon \ge a - \varepsilon$ . Desde $\varepsilon$ fue arbitraria $s \ge a$ (si no es así, pon $\varepsilon = (a - s)/2$ y nota $s < a - \varepsilon$ para esta elección de $\varepsilon$ .)

Answer 2

Creo que para darle sentido habría que dibujar una especie de secuencia de Cauchy, como esta típica: Más o menos lo que ocurre es que, si sólo hay un número finito de $s_n<a$ entonces, cuando $n$ es lo suficientemente grande, $s_n\geq a$ . Esto, tal vez lo reconozcas, es la definición de un límite (más o menos). En esta imagen, imagina que dibujas una línea horizontal en el $y-$ eje más bajo que el eventual límite dibujado. En algún momento posterior $n$ Cada punto de la secuencia tiene que estar por encima de la línea, lo que significa de nuevo que el límite es mayor que el valor.