He visto esta afirmación en un artículo de Yano y no puedo probarlo. Tomo la desigualdad de Young $a^{1/p}b^{1/q} \leq a/p + b/q$ donde $1/p +1/q =1$ . Lo he probado en el caso $a\geq 1$ . En el caso de que $n=1$ se puede deducir inmediatamente de la desigualdad de Young pero en otros casos no veo la prueba.
Respuesta
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La idea es encontrar un número real "adecuado" $c > 0$ tal que la aplicación de la desigualdad de Young a $$ a^{n/(n+1)} = (ca)^{n/(n+1)} \, \cdot \, (1/c^n)^{1/(n+1)} \le \frac{n}{n+1} ca + \frac{1}{n+1} \frac{1}{c^n} $$ da el término $2a$ como primer sumando del lado derecho.
Este es el caso de $c=\frac{2(n+1)}{n}$ , por lo que tenemos $$ \tag{*} a^{n/(n+1)} \le 2a + \frac{1}{n+1}\left( \frac{n}{2(n+1)}\right)^n \, . $$ Esto es más fuerte que la estimación deseada porque $$ \frac{1}{n+1}\left( \frac{n}{2(n+1)}\right)^n < \frac{1}{(n +1) 2^n} < \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2} \, . $$
Una alternativa es observar que para un $n$ la función $f(a) = a^{n/(n+1)}$ es cóncavo, para que tengamos $$ f(a) \le f(b) + (a-b)f'(b) \quad \text{for all } a, b > 0 \, . $$ Elegir $b$ tal que $f'(b) = 2$ da de nuevo la desigualdad $(*)$ .
