Tengo una pregunta sobre la parametrización de la línea de curvatura. Hemos dicho que para una superficie dada $f: U \rightarrow \mathbb{R}^3$ encontramos una parametrización local de la línea de curvatura tal que tanto la primera como la segunda forma fundamental son matrices diagonales. Aunque entiendo que el operador de forma del operador de weingarten es inmediatamente diagonal en este sistema de coordenadas, no entiendo por qué sabemos que las formas fundamentales tienen que ser diagonales en este sistema de coordenadas. ¿Alguien lo sabe? Así, si parametrizamos todo con respecto a las direcciones principales de curvatura, ¿por qué obtenemos matrices diagonales? (En realidad, lo entendería para la primera forma fundamental, ya que las direcciones de curvatura principales son ortogonales entre sí, pero tengo problemas para verlo para la segunda).
Respuesta
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Esta es la definición de las líneas de curvatura, que le da una matriz de operador de forma diagonal $S$ . Pero esta matriz es el producto de la inversa de la primera matriz de forma fundamental $\mathbf I$ con la segunda matriz de forma fundamental. Dado que $\mathbf I$ y $S$ son diagonales, también lo es su producto.
