Distinguir $SU(n)$ de $SO(n)$

Question

Supongamos que tengo un grupo $G$ que es $SU(n)$ (grupo unitario especial) o $SO(n)$ (grupo ortogonal especial) para algunos $n$ que no conozco. ¿Qué "preguntas" debo hacer para determinar cuál es? Por ejemplo, ¿qué diferencias estructurales hay entre estos grupos? Por supuesto, una pregunta como "¿Es $G$ isomorfo a $SU(n)$ para algunos $n$ ?" no cuenta.

Espero alguna respuesta que no se refiera a la estructura lisa (el hecho de que sean grupos de Lie), o incluso a la topología aunque quizá sea pedir demasiado.

edit: para dejar un poco más claro el tipo de respuesta que estoy buscando: Estoy tratando de entender mejor las diferencias entre la teoría cuántica regular y la teoría cuántica de valores reales. En la primera puedes generar todos los estados puros comenzando con un estado puro y luego mirando su órbita bajo un grupo unitario, mientras que en la segunda tienes que mirar la órbita bajo el grupo ortogonal. Espero algún tipo de propiedad intuitiva que haga que $SU(n)$ una opción más natural para un grupo de simetría entonces $SO(n)$ . Una razón por qué la naturaleza ha "elegido" la teoría cuántica compleja en lugar de la teoría cuántica real.

Answer 1

Para $n\ge 3$ El grupo $SO(n)$ tiene un centro trivial (si $n$ es impar) o centro de orden 2 (si $n$ es par). En cambio, el centro de $SU(n)$ ( $n\ge 2$ ) es isomorfo al grupo de $n$ raíces de la unidad y, por lo tanto, tiene un orden $\ge 3$ siempre que $n\ge 3$ .

Sin embargo, las diferencias entre estos grupos son mucho más profundas que el centro. Los grupos $SO(n), n\ge 5$ y $SU(n), n\ge 3$ tienen álgebras de Lie simples de distinto tipo: Tipo A para $SU(n)$ y el tipo B para $SO(n)$ . Esto supone un mundo de diferencia cuando se estudian estos grupos (afecta a la teoría de la representación de estos grupos, entre otras cosas). Sin embargo, para apreciar esta diferencia hay que pensar en ellos como Grupos de Lie no grupos abstractos. Negarse a tratar los aspectos de la teoría de Lie de estos grupos es como tratar de aprender la probabilidad sin la teoría de la medida o el análisis real sin los límites. Mi sugerencia es empezar a aprender sobre raíces, pesos, etc.