Demostrar que $n^3+2$ no es divisible por $4$

Question

Así que sé que $n^3+2$ es un número impar por lo que no será divisible por $4$ pero no sé cómo realizar una prueba formal. ¿Debo utilizar el módulo?

Answer 1

Consideremos los dos casos posibles

• $n=2k \implies n^3+2=8k^3+2 \equiv 2 \mod 4$
• $n=2k+1 \implies n^3+2=8k^3+12k^2+6k+3\equiv 1 \mod 2$

Answer 2

Demuestre que no es cierto para $k = 0,1,2,3$

y demostrar que $f(4n+k)$ tiene el mismo resto que $f(k)$ cuando se divide por $4$

O se utiliza la inducción. Demuestre que no es cierto cuando $k = 0$ y si no es cierto para cualquier $k$ tampoco es cierto para $k+1$

O podrías decir algo como que n no puede ser impar, porque entonces $n^3 + 2$ sería impar. Y si $n$ es par el primer término es divisible por 4 pero el segundo no.

Answer 3

Si $n$ es impar, entonces $n=2k+1$ y así $$n^3+2=(2k+1)^3+2=8k^3+12k^2+6k+3=2(4k^3+6k^2+3k+1)+1$$ es impar, y en particular no es divisible por $4$ .

Si $n$ es par, entonces $n=2k$ y así $n^3+2=8k^3+2$ . Si $4$ divide $8k^3+2$ , entonces también divide $2$ , lo cual es imposible. Para otro argumento: supongamos $8k^3+2=4m$ para algunos $m$ . Entonces $4k^3=2m-1$ lo cual es imposible ya que $4k^3$ es par y $2m-1$ es impar.

Answer 4

Si $n$ es impar entonces $n^3+2$ es impar, por lo que no es divisible por $4.$

Si $n$ es incluso entonces $n^2$ así que $n^3 $ es divisible por $4$ Así que $n^3+2$ no es divisible por $4$ .

Answer 5

Es un caso especial $\,p,k,b = 2,3,1\,$ en el siguiente práctico

Lema $ $ Si $\,p\,$ es $\rm\color{#c00}{prime}$ & $\,k\ge 2\,$ entonces $\,p^2\mid n^k+pb\iff p\mid n,b\,\smash[]{\overset{\ \rm\color{#0a0}U}\iff}\, p\mid (n,b) $

Prueba $\,\ \ (\Leftarrow)\,\ $ Despejado. $\,\ \ (\Rightarrow)\ $ $\,p^2\mid n^k\! + pb\,\Rightarrow\, p\mid n^k\color{#c00}{\Rightarrow}\, p\mid n\,$ $\Rightarrow\,p^2\mid n^k\Rightarrow p^2\mid pb\,\Rightarrow\,p\mid b$

La equivalencia $\rm\color{#0a0}U$ es un caso especial del Propiedad universal de GCD .

Nota: $ $ El lema también es cierto para ${\rm\color{#c00}{squarefree}}\,p\,$ desde son precisamente los enteros que satisfacen la inferencia media anterior: $\ p\mid n^k\Rightarrow\,p\mid n,\,$ para todos los enteros $\,n$ .