Encontrar un haz no trivial de $S^1$ con fibra isomorfa a $\mathbb{R}^n$

Question

Demuestre que dicho haz no trivial existe para cada $n\in\mathbb{N}$ .

Realmente no tengo ninguna idea útil aquí. No estoy seguro de si hay un enfoque general que debería estar tomando o si sólo hay un paquete / método específico independiente que funciona aquí. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Sabemos que hay dos haces de líneas (es decir, fibra $=\mathbb R$ ) en $S^1$ , es decir, la banda de Mobius $M\to S^1$ y el haz trivial $\epsilon ^1\to S^1$ .

Ahora bien, si tomamos $E= M \oplus \mathbb \epsilon^{n-1}$ , donde $\epsilon ^{n-1}$ es el trivial $(n-1)$ - haz vectorial, tenemos su clase Stiefel Whitney $\omega(E)= \omega (M)\omega (\epsilon ^{n-1})= \omega (M) $ que no es trivial, por lo que $E$ no es trivial.

Si quieres argumentar con la orientabilidad, ir una vez a lo largo de un generador de $\pi_1S^1$ le dará una orientación invirtiendo el cambio de base de la fibra $M$ . Por lo tanto, también le dará una para $E$ a saber:

$$ \left( \begin{matrix} -x & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 1 & 0& \cdots \\ 0& 0&1 &\cdots \\ \vdots &\vdots & \vdots& \ddots \end{matrix} \right), $$

donde el bloque de identidad es $(n-1)$ en tamaño y proviene de una trivialización de $\epsilon ^{n-1}$ . ¿Puedes ver lo que está pasando?

En esta última variante se concluye diciendo que la orientabilidad es un invariante de isomorfismo de un haz vectorial y que los haces triviales son orientables.