En $L^p(E)$ con $m(E)<\infty$ con norma menor preservan el Banach

Question

Si $1\leq p < q <\infty$ y $E$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ con medida finita si consideramos el espacio $L^q(E)$ es un espacio de Banach con la norma $||.||_p$ . Sé que $L^p$ es un espacio de Banach con respecto a la $p$ norma.

Y sé que usando la desigualdad de Holder que $||f||_p \leq ||f||_q (m(E))^{\frac{q-p}{pq}}$ así que $E$ tiene medida finita entonces $L^q(E) \subset L^p(E)$ . Estaba tratando de construir una secuencia $f_n \in L^q$ que es Cauchy con respecto a la norma $||.||_p$ que no converge pero no pude? O es ese espacio un espacio de Banach con norma menor. He encontrado preguntas similares pero no he encontrado ningún contraejemplo los solucionadores hablan de átomos y del teorema del mapa abierto, estoy buscando una secuencia de Cauchy que diverja. Las preguntas

1) ¿Está el espacio Lp completo con esta norma?

2) Es $L^{p}$ espacio con norma alternativa Banach?

Answer 1

Si es Banach entonces el mapa de identidad de $L^{q}$ con $L^{p}$ norma a $L^{q}$ con $L^{q}$ sería continua por el Teorema del Mapa Abierto. Así que habría una constante $C$ tal que $\|f\|q \leq C \|f\|p$ . Tomemos el ejemplo $f_n=n^{1/q}I_{(0,1/n)}$ para conseguir una contradicción. Aliter: si $f\in L^{p}\setminus L^{q}$ entonces $(fI_{1/n <|f|<n)})$ es una secuencia de Cauchy que no es convergente.