Computación cohomology de hipersuperficie

Question

Me estoy tomando un curso de geometría diferencial ahora, y tenemos el siguiente ejercicio de la profesora: calcular el (de Rham) cohomology grupos $H_{dR}^i(M)$ de su espacio favorito.

En todos los ejemplos que he visto, estos grupos sólo son calculados para una fácil espacios, como esferas, tori, o combinaciones de estos, o espacios que pueden ser construidos a partir de estos.

Sin embargo, incluso para el ejemplo básico de un suave hipersuperficie en $\mathbb R^n$, el ajuste a cero de un polinomio en $n$ variables, no tengo ni idea de cómo proceder.

Así que la pregunta es esta: vamos a $M$ será el ajuste a cero en $\mathbb R^n$ de un suave polinomio (es decir, que el parcial de derivados y el polinomio no comparten ceros) en $n$ variables. ¿Qué es y cómo puedo calcular el de Rham cohomology grupos de $M$?

Si que hace que sea más fácil, asumir que el polinomio es homogéneo de grado $d$. Entonces, ¿cómo podemos calcular el de Rham cohomology grupos de la correspondiente proyectiva hipersuperficie en $\mathbb {P}_{\mathbb R}^n$?

Agregado: Para el caso, también se podría hacer la misma pregunta con $\mathbb R$ reemplazado por $\mathbb C$.

Answer 1

En este post he trabajado, como ejercicio, la respuesta para el buen proyectivo complejo hypersurfaces, el no uso de de Rham cohomology. Después de aplicar el Lefschetz hyperplane teorema, la herramienta básica es característico de las clases.

Answer 2

En general, existe un algoritmo para el cálculo de la (co)homología de grupos de la real algebraicas subconjuntos en $\mathbf{R}^n$. Siendo una hipersuperficie no ayuda en este cálculo. El algoritmo vuelve a Tarski del trabajo (sobre la eliminación de cuantificadores).

Todo el libro de los Algoritmos en la Geometría Algebraica Real es casi todo acerca de tales cálculos.

Si se trata de un complejo de variedades proyectivas, entonces, en un rango de dimensiones, Lefschetz hyperplane teorema permitirá una reducción de dimensiones. Sin embargo, en el final del día, usted todavía tiene que hacer algún trabajo sucio (de naturaleza algorítmica). Ver el libro "Estratificado Morse Teoría", es en su mayoría sobre el teorema de Lefschetz en diversas formas. Un buen resumen puede encontrarse aquí.