¿Es esta función en $L^2(\mathbb{R}^6)$ ?

Question

Tengo que demostrar que la siguiente función en $L^2(\mathbb{R}^6)$ $$F(x,y)=\frac{f(x)}{x^2+y^2+\frac{2}{m+1}x\cdot y+\lambda}$$ con $f\in H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)$ , $x,y\in\mathbb{R}^3$ y $\lambda>0$ , $m>0$ . He intentado utilizar la desigualdad de Schwartz, observando que $H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^3)\subset L^2(\mathbb{R}^3) $ por lo que tengo que encontrar una buena estimación para el denominador. He trabajado de esta manera: $$ x^2+y^2+\frac{2}{m+1}x\cdot y+\lambda\geq\frac{m}{m+1}x^2+\frac{m}{m+1}y^2+\lambda $$ donde he utilizado $2x\cdot y\geq -x^2-y^2$ . ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

$F(x,y)\le \dfrac{f(x)}{Cx^2+Cy^2+\lambda}$ , digamos que $\|f\|\le M$ . $$\int_{\mathbb{R}^6}\dfrac{f^2(x)}{(Cx^2+Cy^2+\lambda)^2}dx_1 dx_2 dx_3 dy_1dy_2dy_3\le\int_{\mathbb{R}^6}\dfrac{f^2(x)}{(Cy^2+\lambda)^2}dx_1 dx_2 dx_3 dy_1dy_2dy_3\le M^2\int_{\mathbb{R}^3}\dfrac{1}{(Cy^2+\lambda)^2}dy_1dy_2dy_3 = \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi} \dfrac{1}{(Cr^2+\lambda)^2}r^2\sin(\theta)drd\theta = C_1\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(Cr^2+\lambda)^2}r^2dr$$

Cuando $r$ es pequeño, tomamos $\dfrac{1}{Cr^2+\lambda}\sim\dfrac{1}{\lambda}$

Cuando $r$ es grande, tomamos $\dfrac{1}{Cr^2+\lambda}\sim\dfrac{1}{Cr^2}$ .

Así,

$$C_1\int_0^{\infty} \dfrac{1}{(Cr^2+\lambda)^2}r^2dr = \left(\int_0^{1} +\int_1^{\infty}\right)\dfrac{1}{(Cr^2+\lambda)^2}r^2dr\le\int_0^1 \dfrac{1}{\lambda^2}r^2dr+\int_1^{\infty}\dfrac{1}{C^2r^4}r^2dr$$

Que es finito.