Todo punto del conjunto abierto pertenece al intervalo de componentes

Question

Actualmente estoy estudiando por mi cuenta el análisis, y estoy leyendo el Análisis Matemático de Apostol, que demuestra la siguiente afirmación sobre los intervalos de componentes.

Definición de intervalo de componentes: Dejemos que $S$ sea un subconjunto abierto de $\mathbf{R}^1$ Un intervalo abierto $I \subseteq S$ es un intervalo componente si no existe un intervalo abierto $J\ne I$ tal que $I \subseteq J \subseteq S$ .

Declaración . Demostrar que todo punto de un conjunto abierto no vacío S pertenece a uno y sólo un intervalo componente de $S$ .

Prueba. Supongamos que $x \in S$ . entonces $x$ está contenido en algún intervalo abierto $I$ con $I \subseteq S$ . Hay muchos intervalos de este tipo, pero el "mayor" de ellos será el intervalo de componentes deseado. Dejamos que el lector verifique que el intervalo más grande es $(a(x), b(x))$ , donde $a(x) =$ inf $\{ a: (a,x) \subseteq S\}$ y $b(x) =$ sup $\{ b: (x,b) \subseteq S\}$ . (La prueba continúa...)

Esto es intuitivamente cierto, ya que cualquier intervalo mayor que éste contiene obviamente puntos que no están en $S$ . He tratado de definir tal punto pero soy incapaz de demostrar que no se encuentra en $S$ . ¿Puede alguien demostrarme esto?

Answer 1

Quieres mostrar que para todos $\epsilon>0$ , ni $I_{\epsilon}:=(a(x)-\epsilon,b(x))$ ni $J_{\epsilon}:=(a(x),b(x)+\epsilon)$ están contenidas en $S$ .

Desde $\epsilon>0$ Hay un punto en el que $y\in\mathbb{R}$ con $a(x)-\epsilon<y<a(x)$ . Desde $y<a(x)$ se deduce, por la definición del mínimo, que $(y,x)$ no es un subconjunto de $S$ . Desde $a(x)-\epsilon<y$ , $(y,x)\subset I_{\epsilon}$ . Por lo tanto, $I_{\epsilon}$ no puede ser un subconjunto de $S$ .

Del mismo modo, se puede demostrar que $J_{\epsilon}$ no es un subconjunto de $S$ .