El campo de división de $p(x)=x^4+ax^2+b$ en $F$ es $F[x]/\langle p(x)\rangle$

Question

En Un libro de álgebra abstracta por Charles C. Pinter, la parte 5 del ejercicio C página 318 es la siguiente:

Si $p(x)=x^4+ax^2+b\in F[x]$ entonces $F[x]/\langle p(x)\rangle$ es el campo raíz de $p(x)$ en $F$ .

(El campo raíz es el campo de división)

Por supuesto, debemos asumir que $p(x)$ es irreducible sobre $F$ Si no $F[x]/\langle p(x)\rangle$ no sería un dominio integral. Suponiendo esto, tenemos $F[x]/\langle p(x)\rangle\cong F(m)$ para cualquier raíz $m$ de $p(x)$ en una extensión de $K$ . Como $\deg p(x)=4$ tenemos $[F(m):F]=4$ para cualquier raíz $m$ de $p(x)$ .

Dejemos que $\Delta=a^2-4b$ , $m=\sqrt{\frac{-a-\sqrt{\Delta}}{2}}$ y $n=\sqrt{\frac{-a+\sqrt{\Delta}}{2}}$ . Entonces $m$ , $-m$ , $n$ y $-n$ son las raíces distintas de $p(x)$ . Así, para demostrar que $F(m)$ es el campo de división de $p(x)$ basta con demostrar que $n\in F(m)$ . Eso es lo que no puedo mostrar.

$F(m)$ es un $4$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $F$ y $\{1,m,m^2,m^3\}$ es la base de la misma. Tenemos $\sqrt{\Delta}=-a-2m^2\in F(m)$ y $n^2=-a-m^2\in F(m)$ . Si $n\in F(m)$ entonces $\exists !\,x,y,z,t\in F,\, n=x+ym+zm^2+tm^3$ . Utilizando la igualdad $p(m)=0$ encontramos, a menos que haya un error, que $$n^2=x^2+abt^2-(2ty+z^2)b+2(xy-btz)m+((a^2-b)t^2+y^2+2xz-a(tz+z^2))m^2+2(tx-atz+yz)m^3$$ dando lugar a un sistema no lineal bastante complicado: $$\begin{cases} x^2+abt^2-(2ty+z^2)b &= &-a \\ 2(xy-btz) &= &0 \\ (a^2-b)t^2+y^2+2xz-a(tz+z^2) &= &-1 \\ 2(tx-atz+yz) &= &0\end{cases}$$ (ni siquiera sabemos cuál es la característica de este campo).

Esto sugiere que podría haber otro método, pero no pude encontrar nada. ¿Podríais ayudarme, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es falso en general. Como contraejemplo propongo el caso $F=\Bbb{Q}$ y $$p(x)=x^4-2.$$

Es irreducible por Eisenstein. Pero su campo de desdoblamiento no se puede obtener adosando uno de los ceros. El cero $\root4\of2$ es real, y obviamente no generará las raíces no reales.

Más concretamente, el campo de división es $K=\Bbb{Q}(\root4\of2,i)$ . Vemos fácilmente que $[K:\Bbb{Q}]=8$ . No es difícil demostrar que el grupo de Galois es isomorfo al grupo diédrico $D_4$ de orden ocho. (Estoy bastante seguro de que esto se ha hecho en nuestro sitio)

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Por otro lado, si $F$ es finito, entonces la afirmación es verdadera. Esto se debe a que cualquier extensión finita de un campo finito es Galois (en realidad cíclica).