Demostrar que $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y}{x^6+y^2} = 0$

Question

Demostrar que $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y}{x^6+y^2} = 0.$$

El único motivo que se me ocurre es utilizar el Teorema del sándwich .

Porque $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y}{x^6+y^2} = 0$ Entonces sólo tengo que encontrar $h(x,y)$ tal que $\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y) = 0$ tal que:

$$0 \le \frac{x^3y}{x^6+y^2} \le h(x).$$

¿Cómo puedo encontrar $h(x)$ ?

EDITAR:

Entonces, ¿qué le pasa a mi consulta wolframalpha ? ¿Por qué dice que el límite es cero?

Answer 1

Este límite no es igual a $0$ . Cuando el límite existe , si se llega por cualquier camino a ese punto el límite debe ser el mismo y debe ser finito .

Puedes comprobar que si voy al punto $(0,0)$ utilizando $y = x$ el límite tiende a $0$ pero cuando uso $y = x^3$ el límite viene a ser $0.5$ . Por lo tanto, el límite no existe

Answer 2

Para $y=mx^3$ ,

$$\frac{x^3y}{x^6 + y^2} =\frac{m}{1+m^2}$$

Answer 3

En particular, si utiliza $y=mx^3$ y proceder a evaluar el límite a lo largo de este camino entonces

$\lim_{(x,mx^3)\to(0,0)} \frac{x^3y}{x^6+y^2}=\frac {m}{1+m^2}$ y para diferentes valores de $m$ tendrá diferentes valores límite