Condiciones suficientes para que todos los epimorfismos regulares de una categoría se dividan

Question

El axioma de elección interno a una categoría es el enunciado de que todos los epimorfismos de esa categoría son también epimorfismos de división. Estoy interesado en las condiciones suficientes bajo las cuales la afirmación más débil "todos los epimorfismos regulares se dividen" es verdadera. Evidentemente, lo contrario es cierto en todas las categorías.

En el mejor de los casos, me gustaría que las condiciones fueran necesarias y suficientes, pero las condiciones más fuertes que "todos los epimorfismos regulares se dividen" pero más débiles que "todos los epimorfismos se dividen" también son bienvenidas.

Answer 1

No sé muy bien lo que tienes en mente, pero aquí va algo (esto es mayormente pero no completamente estándar):

Dejemos que $\mathcal E$ sea un conjunto (/clase) de epis, en su caso sea el conjunto de todos los epis regulares.

También se pueden considerar epis fuertes, extremos y, en categorías puntuales, normales (y posiblemente otros). Si te apetece, también puedes definir "epis normales relativos a una corelación de coequivalencia" ( co relación, no correlación) en una categoría no puntuable, pero no tengo ni idea de si esto tiene alguna utilidad. Obviamente, cuanto más grande sea la clase, más fuerte será la propiedad de elección.

En fin:

Un objeto $P$ es $\mathcal E$ -proyectiva si para todo $e : A \to E \in \mathcal E$ y $p : P \to E$ existe un morfismo $x : P \to A$ tal que $e\circ x = p$ .

Un objeto $P$ es $\mathcal E$ -elección si cada $e : A \to P \in \mathcal E$ es un epi dividido.

Son equivalentes:

1. el "axioma de $\mathcal{E}$ -elección", es decir, cada $e\in \mathcal{E}$ está dividido epi
2. cada objeto es $\mathcal{E}$ -proyectiva
3. cada objeto es $\mathcal{E}$ -elección

Prueba: ... es fácil, brevemente:

1. $\Rightarrow$ 2. : Toma $x := m\circ p$ donde $m$ es una sección de $e$ .
2. $\Rightarrow$ 3. : Toma $p = \operatorname{id}_P$ . El morfismo $x$ es entonces una sección de $e$ .
3. $\Rightarrow$ 1.: Inmediato.