Un ejemplo de anillo de división $D$ que no es** isomorfo a su anillo opuesto

Question

Recuerdo haber leído en un texto de álgebra abstracta hace dos años (cuando tuve el placer de aprender este hermoso tema) que existe un anillo de división $D$ es decir no isomorfo a su anillo opuesto. Sin embargo, el autor señaló que la construcción de tal anillo "nos llevaría demasiado lejos". Mi pregunta es: por favor, den un ejemplo de un anillo de división $D$ es decir no es isomorfo a su anillo opuesto.

Permítanme recordar que un anillo de división es un anillo $A$ tal que cada elemento no nulo de $A$ es una unidad, es decir, tiene una inversa multiplicativa en $A$ . Sin embargo, no es necesario que los anillos de división sean conmutativos. Recordemos también que si $A$ es un anillo, el anillo opuesto de $A$ es el anillo $A^{\text{op}}$ que tiene el mismo conjunto subyacente que $A$ la misma estructura aditiva que $A$ pero que la multiplicación $*$ en $A^{\text{op}}$ se define por la regla $a*b=ba$ donde " $ba$ "denota el producto de $b$ y $a$ con respecto a la multiplicación en $A$ .

No es difícil encontrar ejemplos de anillos que no es isomorfo a su anillo opuesto y es trivial encontrar ejemplos de anillos no conmutativos que sean isomorfo a sus anillos opuestos. (Por ejemplo, el $n\times n$ anillo matricial sobre un campo $F$ ( $n>1$ ) es isomorfo a su anillo opuesto a través del mapa de transposición $A\to A^{T}$ donde $A$ es una matriz y $A^{T}$ denota su transposición). Por supuesto, todo anillo conmutativo es isomorfo a su anillo opuesto mediante el mapa de identidad. Sin embargo, esta cuestión en particular parece ser difícil.

Answer 1

Dejemos que $F$ sea el centro del anillo de división $D$ . Entonces $D$ representa su clase en el grupo de Brauer $Br(F)$ . El anillo opuesto $D^{opp}$ representa el elemento inverso. La razón por la que, por ejemplo, los cuaterniones son isomorfos a su álgebra opuesta es que los cuaterniones son un elemento de orden 2 en $Br(\mathbf{R})$ y por tanto igual a su propia inversa en el grupo de Brauer.

Para obtener un álgebra de división que no sea isomorfa a su álgebra opuesta podemos utilizar un elemento de orden 3 en el grupo de Brauer. Un método para construirlas es empezar con una extensión (cíclica) de Galois de campos numéricos $E/F$ tal que $[E:F]=3$ . Dejemos que $\sigma\in Gal(E/F)$ sea el generador. Sea $\gamma\in F$ sea un elemento que no pueda escribirse en la forma $\gamma=N(x)$ , donde $N:E\rightarrow F, x\mapsto x\sigma(x)\sigma^2(x)$ es el mapa de normas relativas. Consideremos el conjunto de matrices $$\mathcal{A}(E,F,\sigma,\gamma)=\left\{ \left(\begin{array}{rrr} x_0&\sigma(x_2)&\sigma^2(x_1)\\ \gamma x_1&\sigma(x_0)&\sigma^2(x_2)\\ \gamma x_2&\gamma\sigma(x_1)&\sigma^2(x_0) \end{array}\right)\mid x_0,x_1,x_2\in E\right\}.$$ Un teorema de A. Albert nos dice que esto forma un álgebra de división con centro $F$ y su orden en $Br(F)$ es 3, por lo que no será isomorfo a su álgebra opuesta. La teoría se describe, por ejemplo, en el capítulo 8 de Álgebra Básica II de Jacobson. La palabra de moda "álgebra de división cíclica" debería darte algunas pistas.

Para un ejemplo concreto, considere lo siguiente. Sea $F=\mathbf{Q}(\sqrt{-3})$ y que $E=F(\zeta_9)$ con $\zeta_9=e^{2\pi i/9}$ . Entonces $E/F$ es una extensión cúbica de campos ciclotómicos, $\sigma:\zeta_9\mapsto\zeta_9^4$ . Afirmo que el elemento $2$ no pertenece a la imagen del mapa normativo. Esto se deduce del hecho de que 2 es totalmente inerte en la torre de extensión $E/F/\mathbf{Q}$ . Básicamente porque $GF(2^6)$ es el menor campo finito de característica 2 que contiene una raíz novena primitiva de la unidad. Ahora bien, si $2=N(x)$ para algunos $x\in E$ entonces 2 debe aparecer como factor (con un coeficiente positivo) en el ideal fraccionario generado por $x$ . Pero el mapa normativo multiplica entonces ese coeficiente por 3, y como no había otros primos por encima de 2, no podemos cancelar eso. Lo siento, si esto es demasiado esquemático.

De todas formas (ver de nuevo a Jacobson), el producto de la $\gamma$ elementos modulares $N(E^*)$ es la operación en el grupo de Brauer $Br(E/F)\le Br(F).$ Por lo tanto, el álgebra opuesta debería corresponder a la elección $\gamma=1/2$ (o a la elección $\gamma=4$ , como $2\cdot4=N(2)$ ). Así que $$\mathcal{A}(E,F,\sigma,2)^{opp}\cong \mathcal{A}(E,F,\sigma,1/2).$$ y las opciones $\gamma=2$ y $\gamma=1/2$ dan lugar a álgebras de división no isomórficas, ya que su relación $=4$ no está en la imagen del mapa normativo.

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Editar (he añadido más detalles aquí, porque otra respuesta enlaza con esta respuesta): En general, la construcción del álgebra de división cíclica funciona de manera muy similar para cualquier extensión cíclica $E/F$ . Cuando $[E:F]=n$ obtenemos un conjunto de $n\times n$ matrices con entradas en $E$ . El número $\gamma$ aparece en la parte diagonal inferior de la matriz. La condición para que sea un álgebra de división es que $\gamma^k$ no debe ser una norma para ningún número entero $k, 0<k<n$ . Obviamente, basta con comprobarlo para los divisores propios (maximales) de $n$ . En particular, si $n$ es un primo, entonces basta con comprobar que $\gamma$ no es una norma.

Edit^2: La respuesta de Matt E aquí álgebra lineal sobre un anillo de división vs. sobre un campo da un álgebra de división cíclica más simple de $3\times3$ matrices con entradas en el subcampo real del séptimo campo ciclotómico.