Generadores de un álgebra de Clifford no normal

Question

En el caso del Álgebra de Clifford ortonormal, las representaciones matriciales de los generadores son fáciles de encontrar. Por ejemplo, en el espacio 3d-euclidiano,

$$\frac{1}{2} \left( \sigma_i \sigma_j +\sigma_j \sigma_i \right) = \delta_{i j}$$

Los generadores son las matrices de Pauli.

Sin embargo, en el caso de las álgebras no ortonormales, lo que puede y no puede servir de representación no me queda claro. Supongamos la siguiente Álgebra de Clifford

$$\frac{1}{2} \left( e_\mu e_\nu+e_\nu e_\mu \right) = g_{\mu\nu}$$

¿Podemos encontrar representaciones matriciales para $e_\nu, e_{\mu}$ ? Si no, ¿qué podemos utilizar?

Edición: ejemplo

Por ejemplo, se puede pensar en el intervalo (tensor métrico) de la relatividad general

$$e_0e_0=g_{00}\\ e_1e_1=g_{11}\\ e_2e_2=g_{22}\\ e_3e_3=g_{33}\\ e_0e_1+e_1e_0=2g_{01}\\ e_0e_2+e_2e_0=2g_{02}\\ e_0e_3+e_3e_0=2g_{03}\\ e_1e_2+e_2e_1=2g_{12}\\ e_1e_3+e_3e_1=2g_{13}\\ e_2e_3+e_3e_2=2g_{23}$$

¿Existe una representación matricial válida de los generadores $e_0,e_1,e_2,e_3$ ?

Answer 1

Toda álgebra de dimensión finita puede representarse como un álgebra de matrices.

Si dejas que $V$ sea el espacio vectorial subyacente de un $k$ álgebra, entonces cada elemento $a\in V$ actúa por multiplicación por la izquierda en $V$ creando una transformación lineal $\lambda_a$ de $V$ .

La cartografía $a\mapsto \lambda_a\in End_k(V)\cong M_{\dim(V)}(k)$ resulta ser un homomorfismo de $k$ -y su imagen es un álgebra de matrices isomorfa al álgebra original.