Definir los funtores cuando hay elecciones implicadas

Question

Estoy un poco confundido sobre cómo definimos formalmente los funtores en ciertos casos, concretamente cuando no hay una elección canónica para saber exactamente a qué objeto de la categoría de destino enviamos cada objeto de la categoría de origen. Esto suena un poco vago, así que voy a ir por medio de ejemplos.

1. El functor $\operatorname{Hom}(\bullet,B)$ de la categoría de grupos abelianos a sí misma. No tengo ningún problema aquí; dado un grupo abeliano $A$ existe un conjunto bien definido $\operatorname{Hom}(A,B)$ al que se le da una estructura de grupo abeliano.

2. El functor $\bullet \otimes B$ . Esto me da un poco más de problemas, ya que hay muchas formas equivalentes de definir el producto tensorial $A \otimes B$ . Formalmente un functor tiene que enviar $A$ a un grupo abeliano preciso, no a una clase de grupos abelianos. ¿Simplemente hacemos una elección arbitraria para cada uno de los posibles $A$ ¿y dar por terminado el día? Esto no me parece bien, pero como hay una forma específica de definir el producto tensorial (como cociente de un grupo abeliano libre), no me parece tan grave.

3. Los funtores Ext y Tor. Estos plantean un verdadero problema para mí, ya que el grupo exacto que los funtores asignan a un par de grupos abelianos depende de la elección de la resolución libre (o inyectiva para el caso de Ext) que elijamos. Seguro que hay equivalencias canónicas entre todos los posibles grupos resultantes, pero no hay una forma canónica de elegir cada uno. Si se supone que un functor debe asignar un único objeto de destino a cada objeto de origen, ¿cómo hacemos esa elección?

Inicialmente pensaba que el axioma de elección podría permitirnos elegir un objeto objetivo arbitrario para cada objeto fuente, pero en general la clase de objetos ni siquiera es un conjunto, por lo que el axioma de elección sólo puede utilizarse para categorías pequeñas.

Answer 1

Tienes toda la razón en que, para convertir ciertas construcciones en funtores, necesitamos un axioma de elección global es decir, un axioma de elección para las clases: un producto de y clase de clases no vacías es no vacío. Para un ejemplo sencillo, dada una categoría grande arbitraria $\mathcal C$ que admite productos y un objeto fijo $c$ de $\mathcal C$ el axioma de elección global es necesario para construir un functor $c\times (-):\mathcal C\to \mathcal C$ asignando a cada $c'\in \mathcal C$ un producto $c\times c'$ .

En los fundamentos más comunes utilizados en la teoría de categorías, esto no es un problema. Típicamente se pueden utilizar universos de Grothendieck, en los que cada categoría grande se hace pequeña en un universo apropiado, y entonces este axioma global de elección se reduce al habitual junto con un axioma cardinal grande. También se puede utilizar la teoría de conjuntos NBG, que axiomatiza directamente tanto los conjuntos como las clases y no implica nuevas afirmaciones sobre establece más allá de la ZFC. Allí asumimos explícitamente que existe una función de elección global, es decir, una función que va de la clase de todas las clases no vacías a sí misma eligiendo un elemento de cada clase no vacía.

En un paradigma más constructivo, es más apropiado modificar las definiciones para que, por ejemplo, para que una categoría admitir productos significa que viene equipado con funtores de productos elegidos. Como alternativa, se puede considerar anafunciones que son generalizaciones de funtores que pretenden modelar con precisión la noción de un funtor que está bien definido sólo hasta el isomorfismo canónico.

En la práctica, sea cual sea el enfoque que se adopte, nunca hay una brecha seria entre un anafuntor y un functor, y la mayoría de los matemáticos no prestan atención alguna a cuestiones como las que describes, incluso en el caso de funtores derivados y otras construcciones elaboradas que implican numerosas elecciones. Mientras las elecciones sean únicas hasta el isomorfismo canónico, casi nunca se distinguen de las elecciones que son literalmente únicas. Un último marco fundacional en el que esta perspectiva práctica se materializa de forma más estrecha es en la teoría de tipos de homotopía, donde las nociones de igualdad y de isomorfismo canónico llegan a ser precisamente las mismas. Esta es, a mi juicio, la actitud correcta ante estas cuestiones.