Encontrar los puntos críticos de f(x,y)

Question

Encuentre el punto crítico de $$ f(x,y) = 3x^3 + 3y^3 + x^3y^3 $$

Para ello, sé que tengo que establecer $$f_y = 0, f_x = 0 $$

Así que $$f_x= 9x^2 + 3x^2y^3$$ $$f_y = 9y^2 + 3y^2x^3$$

Luego se resuelve para x, pero sustituyendo estas dos ecuaciones entre sí.

Pero de alguna manera terminé con $$x = y$$ y eso no es muy útil.

¿Hay algo que haya hecho mal o que haya entendido mal?

Answer 1

Bueno, $f_x=0$ es $3x^2(3-y^3)=0$ Así que, o bien $x=0$ o $y^3=3$ (entre los reales es $\sqrt[3]3$ ). Y Al mismo tiempo $f_y=0$ también debe cumplirse, es decir ( $y=0$ o $x=\sqrt[3]3$ ).

Te da la $(0,0)$ y $(\sqrt[3]3,\sqrt[3]3)$ soluciones.

Answer 2

Si resuelve el sistema $f_x=0=f_y$ , usted tendrá los siguientes cuatro puntos:

         [0, -1.44, -9], [-1.44, 0, -9], [0, 0, 0], [-1.44, -1.44, -9] 

Todos estos son puntos críticos. Ahora, debemos examinar los signos de $f_{xx}$ y $$f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}$$ en estos puntos. Si el Hessian se hace cero en cualquiera de ellos, entonces no sabemos si ese punto es máximo, mínimo o un punto de silla de montar, por lo que necesitamos consideraciones adicionales.

Answer 3

Conseguir $x=y$ ¡es muy útil! Esto es porque digamos que tienes dos ecuaciones: $$1. f_x=9x^2+3x^2y^3$$ $$2. f_y=9y^2+3y^2x^3$$ Sustituyendo $x=y$ o $y=x$ en ambas ecuaciones y haciendo el lado izquierdo igual a cero dará el mismo resultado: $$0=9x^2+3x^2x^3$$ $$0=9x^2+3x^5$$ $$0=3x^2(3+x^3)$$ $$(0=3x^2) or (3+x^3=0)$$ $$(0=x^2) or (x^3=-3)$$ $$(x=0) or (x=-(3)^{1/3})$$

De nuevo, como sabemos que $x=y$ sabemos que los puntos críticos son $(0,0,0)$ y $(-3^{1/3},-3^{1/3},-9)$

Answer 4

Las dos ecuaciones $$f_x=3x^2(3+y^3)=0,\qquad f_y=3y^2(3+x^3)=0$$ conducen a los dos puntos críticos $(0,0)$ , $\>(-\sqrt[3]3,-\sqrt[3]3)$ .

Para calificar el punto crítico $(0,0)$ consideramos la función $\phi(x):=f(x,0)=3x^3$ . Desde $\phi$ asume tanto valores positivos como negativos en la vecindad inmediata de $0$ podemos concluir que $f$ no supone un extremo local en $(0,0)$ .

Para analizar el punto crítico $(-\sqrt[3]3,-\sqrt[3]3)$ calculamos el hessiano $$\left[\matrix{18x+6xy^3 &9x^2y^2\cr 9x^2y^2 &18y+6yx^3\cr}\right]\ .$$ Su determinante es $$9xy\bigl(36+12(x^3+y^3)-5x^3y^3\bigr)\ ,$$ que es negativo en $(-\sqrt[3]3,-\sqrt[3]3)$ . Por lo tanto, no tenemos un extremo local en $(-\sqrt[3]3,-\sqrt[3]3)$ o bien.