representación matricial de relaciones sobre $A=\{1,2,3, \ldots, 1000\}$

Question

Tengo un ejercicio de matemáticas discretas sobre representación matricial de relaciones que quiero estar seguro de haber resuelto correctamente:

¿Cuántas entradas distintas de cero tiene la matriz que representa las siguientes relaciones en $A=\{1,2,3,\ldots,1000\}$ que consiste en la primera $1000$ enteros positivos tienen si $R$ es:

a) $R=\{(a,b)\mid a+b=1000\}$

b) $R=\{(a,b)\mid a+b\leq1001\}$

c) $R=\{(a,b)\mid a\neq0\}$

En el caso c, un millón ya que cada entrada será 1.

En el caso a, cada entrada, desde la primera hasta la 999ª, excluyendo la 1000ª fila, tendrá una entrada no nula, por lo que 999

En el caso b toda la primera fila satisface la condición, toda la segunda fila satisface la condición y en la tercera fila todo menos la entrada (3,999) satisface la condición. En la cuarta, todo menos (4,999) y (4,998) satisface la condición.

Así que tendremos $1000 + 1000 + 999+998+997...+1$ entradas no nulas en la matriz que representa la relación. $999+998+997...+1 = 99(100) / 2 $

Así que tenemos $499500 + 2000 = 501500$ No hay entradas cero.

¿Es esta la forma correcta de resolver el ejercicio?

Muchas gracias

Answer 1

Sus respuestas a las partes (a) y (c) son correctas.

¿Cuántas entradas distintas de cero tiene la matriz que representa las siguientes relaciones en $A=\{1,2,3,\ldots,1001\}$ que consiste en la primera $1000$ enteros positivos tienen si $R$ es $R=\{(a,b)\mid a+b \leq 1001\}$ ?

En la fila $k$ Hay $1001 - k$ que satisfacen la condición ya que requerimos que $k + b \leq 1001 \implies b \leq 1001 - k$ . Por lo tanto, el número de pares ordenados admisibles es $$\sum_{k = 1}^{1000} (1001 - k) = \sum_{n = 1}^{1000} n = \frac{1000 \cdot 1001}{2} = 500,500$$ donde $n = 1000 - k$ .