Dejemos que $D$ sea una distribución. Demuestre que cada punto de $p \in M$ tiene un submanifold $N$ tal que $p \in M$ y $T_p N = D_p$ .

Question

Dejemos que $D$ sea una distribución. Demuestre que cada punto de $p \in M$ tiene un submanifold incrustado $N$ tal que $p \in M$ y $T_p N = D_p$ .

Intento : Supongamos que $M$ es una variedad lisa de dimensión $m$ y $D$ es un rango $k$ -subconjunto de $\pi: TM \to M$ .

Dejemos que $p \in M$ . De alguna manera, tendremos que construir un submanifold incrustado $N$ de dimensión $k$ tal que $D_p = T_p N$ .

¿Cómo puedo construir un colector incrustado de este tipo? Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

El problema es encontrar un submanifold que tome un determinado espacio tangente en un punto determinado. Se puede hacer esto cuando el colector es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ trivialmente; basta con tomar un trocito de un espacio afín. Por suerte, cada colector es localmente difeomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .

Más concretamente: dejemos $\varphi\colon U \to \mathbb{R}^n$ sea un gráfico del colector en $p$ . Sea $N$ sea un submanifold incrustado en $\varphi(U) \subseteq \mathbb{R}^n$ que toma el espacio tangente $(d \varphi)_p(D_p)$ en $\varphi(p)$ . (Por ejemplo, dejemos que $N$ sea una restricción de un subespacio afín). Entonces, $\varphi^{-1}(N)$ es un submanifold incrustado de $U$ y, por tanto, de $M$ que toma el espacio tangente $D_p$ en $p$ . (Para comprobarlo, lo más conveniente es considerar un submanifold incrustado como un mapa de inclusión, y el espacio tangente "tomado en un punto" como la imagen del diferencial de esta inclusión).

Answer 2

Se puede proceder como indicó Christopher Gadzinski en su respuesta. He aquí otro enfoque.

Dejemos que $g$ sea una métrica de Riemann sobre $M$ . Para cada $v \in T_pM$ existe una única geodésica $\gamma_v$ con $\gamma_v'(0) = v$ . Existe un subconjunto abierto conectado $U \subseteq T_pM$ con $0 \in U$ , de tal manera que si $v \in U$ entonces la geodésica $\gamma_v$ se define en $1$ . El mapa exponencial en $p$ , denotado como $\operatorname{exp}_p : U \to M$ viene dada por $\operatorname{exp}_p(v) = \gamma_v(1)$ . Si $r$ denota el radio de inyectividad en $p$ entonces $\operatorname{exp}_p : B(0, r) \to M$ es un difeomorfismo sobre su imagen. Como $B(0, r)\cap D_p$ es un submanifold incrustado de $B(0, r)$ de dimensión $k$ entonces $N := \operatorname{exp}_p(B(0, r)\cap D_p)$ es un submanifold incrustado de $M$ de dimensión $k$ .

Ahora se deduce que $T_pN = D_p$ . Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que para $t \in \mathbb{R}$ tal que $tv \in U$ tenemos $\gamma_v(t) = \operatorname{exp}_p(tv)$ . En particular, para cada $v \in D_p$ , hay $\varepsilon > 0$ tal que $\gamma_v((-\varepsilon, \varepsilon)) \subseteq N$ . Por lo tanto, $v = \gamma_v'(0) \in T_pN$ Así que $D_p \subseteq T_pN$ pero $\dim D_p = k = \dim T_pN$ por lo que son iguales.

Esta idea se utiliza a menudo para demostrar la relación entre la curvatura seccional y la curvatura gaussiana: si $P \subseteq T_pM$ es un subespacio bidimensional, entonces $\operatorname{sec}_p(P) = K_p(N)$ .

Answer 3

Esto no siempre es cierto, existen distribuciones que no son integrables.

https://mathoverflow.net/questions/294276/a-strongly-non-integrable-distribution