Llevo un tiempo intentando resolver un ejercicio/probar una proposición, que al principio me parecía elemental, pero ahora incluso dudo de que sea una proposición verdadera. La proposición es:
Dejemos que $G$ sea un grupo perfecto y que $K$ sea un subgrupo cíclico y normal de $G$ . Demostrar que $K$ está contenida en el centro de $G$ (es decir $Z(G)$ ).
Evidentemente, basta con demostrar que el generador de $K$ está en el centro, es decir, conmuta con todos los elementos del grupo, pero no consigo entender por qué es así.
He pensado en utilizar el lema de Grun y demostrar que si el generador de $K$ no estaba en el centro, entonces su $Z(G)$ -coset estaría en el centro de $G/Z(G)$ pero resultó ser el mismo enfoque que el primero.
Entonces pensé en demostrar que la órbita (bajo la acción de la conjugación) del generador es un singleton y encontré que $\sqrt{|G|}$ es un límite inferior para el tamaño del estabilizador $|Stab(x)|$ , donde $x$ es el generador, pero eso es sólo para un grupo finito $G$ y no he podido encontrar un límite superior (estaría bien si pudiera demostrar que x es realmente estable bajo la conjugación de cualquier $g\in G$ ).
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
