Derivado de $\int_0^1 \frac{e^{-x^2(t^2+1)}}{1+t^2} dt $ ?

Question

Dada la función $$f(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2(t^2+1)}}{1+t^2} dt $$ Quiero calcular $f'(x)$ lo más sencillo posible.

Mi intento:

Lo sabemos: $erf(x)=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_0^xe^{-t^2}dt$

Poner $u=t^2+1$ que: $$f(x)=\int_1^2 \frac{e^{-x^2u}}{ u} du=\int_1^2 \frac{e^{-x^2(\sqrt u)^2}}{ u} du=\int_1^2 \frac{(e^{-\sqrt u^2})^{x^2}}{u} du\overset{*}{=}\int_{x^2}^2 \frac{e^{-u}}{ u} du=-\int_2^{x^2} \frac{e^{-u}}{ u} du$$

No estoy seguro de que $(*)$ y si es así, si es la función gamma $-\Gamma(0,x)$ o la integral exponencial $E_1(x)$

Sólo necesito una pequeña pista porque quería expresarlo en términos de la función de error, si es posible :(

Answer 1

Estamos tratando con funciones analíticas sobre un intervalo compacto, por lo que con seguridad

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\,f(x)=\frac{d}{dx} \int_{0}^{1} e^{-x^2(1+t^2)}\frac{dt}{1+t^2} &\color{red}{=}& \int_{0}^{1}\frac{d}{dx}e^{-x^2(1+t^2)}\frac{dt}{1+t^2}\\&=&\int_{0}^{1}-2x e^{-x^2(1+t^2)}\,dt\\&=&-2xe^{-x^2}\int_{0}^{1}e^{-x^2 t^2}\,dt\\&=&-2e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,dt\\&=&-\sqrt{\pi}e^{-x^2}\text{erf}(x) \end{eqnarray*} $$ donde $\color{red}{=}$ es la diferenciación bajo el signo integral.

Answer 2

Utilice la regla de Leibnitz para la diferenciación bajo signo integral que es la siguiente si $$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt$$ entonces $$\frac{d}{dx}F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt +f(x,b(x)).b'(x)-f(x,a(x)).a'(x)$$ Esto te ayudará.