Estabilizador de formalismo para simétrica spin-estados?

Question

Esta pregunta se desarrolló a partir de la conversación entre yo y Joe Fitzsimons. Hay una sucinta estabilizador de representación simétrica de los estados, en los sistemas de n spin-1/2 o (en general) n superior de espín de las partículas?

Por un "estabilizador de representación", me refiero a que:

• cada simétrica estado (o algunas notables, no trivial de la familia de ellos que contiene algo más que el producto de los estados) se representa como la única +1-eigenstate de algún operador o la única articulación +1-eigenstate de una lista de los operadores, donde

• cada elemento de este conjunto de estabilización de los operadores puede ser sucintamente descrito, como un operador en el mayor espacio de Hilbert (es decir, no sólo como una transformación restringido a la simetría del subespacio propio), y

• donde la estabilización de los operadores a transformar en un buen camino en la imagen de Heisenberg bajo simétrica local unitaries (es decir, transformaciones unitarias de la forma de U^⊗n).

Idealmente, uno sería capaz de describir de manera eficiente todo tipo de transformaciones entre los distintos simétrica de los estados unidos; pero no se puede tener todo.

La restricción de ser un único +1-eigenstate de la lista de estabilización de los operadores también podría estar sujeto a la restricción de ser simétrica estado. (Por ejemplo, muchos estados en n spin-1/2 partículas son estabilizados por una σ_z operador en un solo giro, pero exactamente un simétrica estado se estabiliza por ese operador. No es que yo esperaría un operador necesariamente a surgir en el formalismo...)

Hace una representación con las propiedades anteriormente mencionadas (o cerca de ella) existen?

Answer 1

Yo creo que no es una representación, de la siguiente manera:

Usted necesita considerar sólo a los operadores que puede ser escrito como $\Omega = \sum_k \alpha_k \gamma_k$ donde $\gamma_k = \sum_\ell P_\ell \big( \sigma_{k_1} \otimes \cdots \otimes \sigma_{k_N} \big)P_\ell^\dagger$ $P_\ell$ siendo el operador correspondiente a la $\ell^{\text{th}}$ permutación de qubits. Tenga en cuenta que $\gamma_k$ está definida en todo el espacio, y es esencialmente una generalización del número de operador. $\gamma_k$ puede ser identificada por cada uno de los número de cada tipo de Pauli matriz que contiene, y así es polinomial en el número de qubits. El mismo funciona para el caso de qudits, a pesar de que el grado del polinomio se escala con la dimensionalidad de los sistemas locales. Para qubits, tenemos 3 números correspondientes: 1) $N_X$ el número de sitios en los que el operador actúa como $\sigma_X$, 2) $N_Y$ el número de sitios en los que el operador actúa como $\sigma_Y$ y 3) $N_Z$, el número de sitios en los que el operador actúa como $\sigma_Z$, sujeto a la restricción de que $N_X + N_Y + N_Z \leq N$. En lugar de eso, podemos etiquetar de nuevo el $\gamma$ matrices como $\gamma_{N_X,N_Y,N_Z}$ para el caso de dos dimensiones.

Observe que el conjunto de posibles $\Omega$ forma un grupo bajo la multiplicación, y de que cada elemento del grupo tiene un polinomio descripción (hasta aproximación de los coeficientes complejos).

Por lo tanto:

1. Puesto que el $\gamma$ operadores de formar una base para Hermitian matrices que son invariantes bajo permutación de los locales, espacios de Hilbert, con tal de satisfacer su primer criterio.

2. De estabilización operador $\Omega$ puede ser descrito por un conjunto de números reales (o aproximaciones de allí), el número de los cuales es el polinomio en el número de subsistemas y exponencial en su dimensión local, satisfaciendo así su segundo criterio.

3. Simétrica local unitaries también puede ser escrita en términos de una suma de $\gamma$ matrices (aunque con una limitación adicional en los valores de $\alpha_k$), y por lo tanto por la estructura de grupo, el resultado todavía puede ser representada dentro de este marco. Cuando un unitaria que se aplica, los estabilizadores de transformación de la $U \Omega U^\dagger$, que es eficiente computable si $U$ es simétrica dada la reducción de la base con la que tanto $U$ $\Omega$ puede ser expresado, la satisfacción de su último criterio.