Evaluar $\displaystyle\int_0^{2}\sqrt{4x + 1} \text{d}x$

Question

Evaluar $\displaystyle\int_0^{2}\sqrt{4x + 1}~\text{d}x$

Esto se convierte en:

$\displaystyle\int_0^{2}(4x + 1)^\frac{1}2~\text{d}x$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí, sospecho que podría utilizar la regla de la cadena o la regla de la cadena inversa.

Answer 1

$$\int_{0}^{2}\sqrt{4x+1}\space\text{d}x=$$

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Sustituir $u=4x+1$ y $\text{d}u=4\space\text{d}x$ .

Esto da un nuevo límite inferior $u=4\cdot0+1=1$ y el límite superior $u=4\cdot2+1=9$ :

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$$\frac{1}{4}\int_{1}^{9}\sqrt{u}\space\text{d}u=\frac{1}{4}\int_{1}^{9}u^{\frac{1}{2}}\space\text{d}u=$$

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Utilice $\int y^{n}\space\text{d}y=\frac{y^{1+n}}{1+n}+\text{C}$

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$$\frac{1}{4}\left[\frac{u^{1+\frac{1}{2}}}{1+\frac{1}{2}}\right]_{1}^{9}=\frac{1}{4}\left[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9}=\frac{1}{6}\left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9}=\frac{1}{6}\left(9^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{1}{6}(26)=\frac{13}{3}$$

Answer 2

Un consejo con este tipo de integraciones:

Aumenta primero la potencia en uno, y luego calcula el coeficiente que necesitas.

(Aunque alguien ya ha dado la solución), esta es una forma útil de hacerlo mentalmente.

Answer 3

Dado que la derivada de $(4x+1)^{3/2}$ es $6(4x+1)^{\frac{1}{2}}$ , $$ \int_0^2 \sqrt{4x+1}dx =\left[\frac{1}{6}(4x+1)^{3/2}\right]_0^2. $$