$f, g$ son convexos y positivos $\Rightarrow f(x)g(y)$ es convexo?

Question

Demuestre o proporcione un contraejemplo: si $f$ y $g$ son funciones reales convexas positivas sobre algunos intervalos, entonces $f(x)g(y)$ es convexo.

Answer 1

$f(x)=x$ , $g(x)=1-x$ es un contraejemplo en $[0,1]$ .

Answer 2

Desde $(fg)''=f''g+2f'g'+fg''$ es suficiente para $fg$ para ser convexo que además $f'g'\geq0$ es decir, ambos son decrecientes o ambos son crecientes.