He visto la siguiente afirmación en un libro sin pruebas y no sé por qué se sostiene. Dejemos que $a<b \in\mathbb{R}$ . Entonces la integral $$\frac{1}{2\pi i}\int_a^b\left(\frac{1}{t-i\epsilon-\lambda}-\frac{1}{t+i\epsilon-\lambda}\right)dt$$ converge a $0$ si $\lambda\not\in(a,b)$ , $\frac{1}{2}$ si $\lambda=a$ o $b$ y $1$ si $\lambda\in(a,b)$ como $\epsilon\searrow0$ . El $2\pi i$ me hizo pensar que esto podría ser una aplicación del teorema del residuo, pero no sé qué camino de integración elegir.
Respuesta
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Una pista: simplemente dividir la integral en parte real e imaginaria similar esta prueba .
Spoiler abajo:
Expandir: $$ \frac{1}{t-\lambda \pm i \epsilon} = \frac{1}{t-\lambda \pm i \epsilon} \frac{t-\lambda \mp i \epsilon}{t-\lambda \mp i \epsilon} = \frac{t-\lambda \mp i \epsilon}{(t-\lambda)^2 + \epsilon^2}.$$ Así, $$ \frac{1}{t-\lambda-i\epsilon}-\frac{1}{t-\lambda+i\epsilon} = \frac{2i \epsilon}{(t-\lambda)^2 + \epsilon^2} .$$ y $$\frac{1}{2\pi i}\int_a^b\left(\frac{1}{t-i\epsilon-\lambda}-\frac{1}{t+i\epsilon-\lambda}\right)dt = \frac{\epsilon}{\pi} \int_a^b \frac{dt}{(t-\lambda) + \epsilon^2} = \frac{1}{\pi}\left[\arctan\left(\frac{b-\lambda}{\epsilon}\right) - \arctan\left(\frac{a-\lambda}{\epsilon}\right)\right].$$ Ahora, sabemos que $$\begin{align} \lim_{x\to \pm \infty} \arctan(x) &=\pm\frac\pi2, & \arctan(0)&=0.\end{align}$$ de lo que se deduce inmediatamente el resultado indicado.
