Demostrar que un conjunto es una partición

Question

Demostrar que $$S=\{I_0,I_1,I_2,I_3,I_4\}$$

es una partición de $\mathbb{Z}$ . En el sitio web

$$I_k=\{x \in \mathbb{Z}:x\text{ has remainder $ k $ when divided by $ 5 $}\}$$

No estoy seguro de cómo enfocar esto, recuerdo que una partición también forma una relación de equivalencia, pero no estoy seguro de cómo usarla.

Answer 1

Cualquier número entero tiene exactamente un resto $k$ cuando se divide por 5 (0, 1, 2, 3 o 4) por lo tanto pertenece exactamente a uno de los conjuntos que has definido. Esto también implica que la unión de los conjuntos es igual a $\mathbb Z$ lo que significa que forman una partición.

Answer 2

Sí, lo recuerdas bien: La relación de equivalencia aquí es $a \sim b \iff a \equiv b\pmod 5$

Otra forma de decir esto es que $a\sim b \iff a-b \equiv 0 \pmod 5$ .

Cada entero $n\in \mathbb Z$ cuando se divide por $5$ tiene uno y sólo uno de los siguientes restos: $0, 1, 2, 3, 4$ . Los elementos que tienen un resto de $0$ forman una clase (están relacionados entre sí); aquellos elementos que tienen un resto de $2$ formar otra clase; $\cdots$ y todos aquellos elementos que tengan un resto de $4$ forman la clase final.

Es decir, cada número entero pertenece a una y sólo una de las clases de equivalencia: $[0] = I_0, [1] = I_1, [2] = I_2, [3] = I_3, [4]= I_4,$ de manera que las clases sean mutuamente disjuntas.

Así que, como cada entero es un elemento de y sólo una clase de equivalencia, tenemos una partición de $$\mathbb Z = \{I_0, I_1, I_2, I_3, I_4\}$$