Definición de una correspondencia uno a uno

Question

Actualmente estoy leyendo "Naive Set Theory" de P.H. Halmos y me he confundido con una exposición en la mitad del texto. Aquí está:

"Si $f$ es una función arbitraria, de $X$ en $Y$ entonces hay una forma natural de definir una relación de equivalencia $R$ en $X$ ; escriba $aRb$ (donde $a$ y $b$ están en $X$ ) en caso de $f(a)= f(b)$ . Para cada elemento $y$ de $Y$ , dejemos que $g(y)$ sea el conjunto de todos aquellos elementos $x$ en $X$ para lo cual $f(x)=y$ . La definición de $R$ implica que $g(y)$ es, para cada $y$ una clase de equivalencia de la relación $R$ En otras palabras, $g$ es una función de $Y$ en el conjunto $X/R$ de todas las clases de equivalencia de $R$ ."

Justo después afirma que $g$ es una correspondencia de uno a uno.

Como ejemplo de esta construcción he probado $f: X \to Y$ , $f(x)= x^{2}$ con $X=\{-3, -2, 2, 3\}$ y $Y=\{4, 9, 11\}$ . En este caso: $$R=\{(-3, -3), (-3, 3), (3,3), (3, -3), (-2, -2), (-2, 2), (2, 2), (2, -2)\}$$ y $$X/R=\{\{-3, 3\}, \{-2, 2\}\}.$$ Y para cada elemento $y$ en $Y$ , $$g(4)=\{-2, 2\};$$ $$g(9)=\{-3, 3\};$$ $$g(11)=\{\}.$$ Pero entonces, $g(11)=\{\} \notin X/R$ cuando $g(11)$ debe ser una clase de equivalencia de $R$ .

Probablemente haya algún error garrafal arriba. Agradecería que alguien me lo indicara. Gracias.

Answer 1

" $f$ es una función arbitraria, de $X$ en $Y$ "

La palabra en significa que $f$ es suryectiva, y por eso su contraejemplo falla.

Answer 2

El texto dice que $f$ es una función de $X$ en $Y$ . Esto significa que por cada $y\in Y$ Hay al menos una $x\in X$ tal que $f(x)=y$ . La función que has dado no es sobre, de ahí el fracaso de la reclamación.