Aplicación del teorema del cambio de base

Question

Dado un morfismo plano y proyectivo $f:X\rightarrow Y$ de esquemas noetherianos sobre algún algebraico cerrado $k$ y $F$ , $G$ coherente $O_X$ -módulos, planos sobre $Y$ .

A continuación, el cambio de base theroem para el relativo $Ext$ las gavillas se leen: Sea $y\in Y$ y asumir $\tau^i(y): \mathcal{E}xt_f^i(F,G)\otimes k(y)\rightarrow Ext_{X_y}^i(F_y,G_y)$ es suryente. Entonces:

i) Hay un barrio $U$ de $y$ s.t. $\tau^i(y')$ es un isomorfismo para todo $y' \in U$

ii) $\tau^{i-1}(y)$ es suryente si y sólo si $\mathcal{E}xt_f^i(F,G)$ es localmente libre en una vecindad de $y$

Supongamos que nos encontramos en la siguiente situación: $Y$ es una superficie proyectiva lisa y $X$ es el producto de $Y$ con otra superficie lisa proyectiva y $f$ es la proyección. Tenemos $Ext_{X_y}^i(F_y,G_y)=0$ para todos $i\geq3$ y todos $y\in Y$ . Además tenemos: $Ext_{X_y}^i(F_y,G_y)=0$ para $i=0,1,2$ y todos $y\in Y\setminus \{y_0\}$ para un fijo $y_0 \in Y$ . Finalmente $Ext_{X_{y_0}}^0(F_{y_0},G_{y_0})=Ext_{X_{y_0}}^2(F_{y_0},G_{y_0})=k^s$ y $Ext_{X_{y_0}}^1(F_{y_0},G_{y_0})=k^{2s}$ para algunos $s\geq1$ .

La afirmación es que obtenemos (con una aplicación del teorema del cambio de base):

(a) $\mathcal{E}xt_f^i(F,G)=0$ para $i=0,1$ y b) $\mathcal{E}xt_f^2(F,G)\otimes k(y_0)=k^s$

Así que, como $Ext_{X_y}^3(F_y,G_y)=0$ para todo y, tenemos por i) que $\tau^3(y)$ es suryente para todo y, por lo que es un isomorfismo para todo $y\in Y$ y $\mathcal{E}xt_f^3(F,G)=0$ que es localmente libre en $Y$ . Así que $\tau^2(y)$ es un isomorfismo para todo $y\in Y$ por ii). Por lo tanto, obtenemos (b).

Pero qué tal (a). Tenemos que $\tau^1(y)$ es suryente para todo $y\in Y\setminus y_0$ . Pero, ¿qué pasa con $\tau^1(y_0)$ . ¿Qué se puede decir de $\mathcal{E}xt_f^2(F,G)$ ? ¿Está libre en algún lugar? ¿Cómo se consigue la desaparición de $\mathcal{E}xt^1_f(F,G)$ con el teorema del cambio de base?

Antecedentes: Todavía estoy trabajando en el Ejemplo http://books.google.de/books? id=_mYV1q0RVzIC&printsec=portada&dq=%22geometría+de+los+espacios+de+las+hojas%22&source=bl&ots=ZGL9LDSVjV&sig=p9l1BZ- UOXZdlxakuC3k15sTtBk&hl=de&ei=flHpTOHyPI3oOaXj7IcK&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&sqi=2&ved=0CCMQ6AEwAQ#v=onepage&q=base%20change&f=false al final de la página 169.

Edición: Sasha dio una respuesta que utiliza categorías derivadas. Pero también me interesa si se puede demostrar esto, simplemente usando i) y ii) en el teorema del cambio de base.

Answer 1

Siempre es útil mirar desde el punto de vista de la categoría derivada. Lo que se quiere es el objeto de $D(Y)$ que es $Rf_*R{\mathcal H}om(F,G)$ --- las gavillas ${\mathcal E}xt^i_f$ son su cohomología de gavilla. El cambio de base le dice que $Li^*Rf_*R{\mathcal H}om(F,G) \cong RHom(F_{y_0},G_{y_0})$ , donde $i$ es la incrustación del punto $y_0$ . Como sabes $Ext^2(F_{y_0},G_{y_0}) = k^s$ , tienes un mapa $RHom(F_{y_0},G_{y_0}) \to k^s[-2]$ . Da por adición un mapa $Rf_*R{\mathcal H}om(F,G) \to O_{y_0}^s[-2]$ . Quieres demostrar que es un isomorfismo. Incluya este morfismo en el triángulo exacto $$ Rf_*R{\mathcal H}om(F,G) \to O_{y_0}^s[-2] \to C. $$ Quieres comprobar que $C = 0$ . Usted ya sabe que $C$ es cero en el complemento de $y_0$ . Entonces basta con comprobar que $Li^* C = 0$ . Aplique $Li^*$ al triángulo, obtendrá $$ RHom(F_{y_0},G_{y_0}) \to Li^* O_{y_0}^s[-2] \to Li^* C. $$ Tenga en cuenta que $Li^* O_{y_0} = Li^* i_* k$ tiene cohomología $k$ , $k^2$ y $k$ en grados $0$ , $-1$ y $-2$ . De ahí que se vea que los dos primeros términos de la sucesión tienen la misma cohomología. Así pues, queda por comprobar que el mapa induce su isomorfismo. Esta es la parte complicada.

Para ello, necesita más información sobre la situación. En su caso, recuerde que $L_1i^* O_{y_0} = T_{y_0}^* Y$ y como $Y$ es el espacio de moduli de las láminas $G$ es isomorfo a $Ext^1(G_{y_0},G_{y_0})^*$ . Por lo tanto, hay que comprobar que $Ext^\bullet(F_{y_0},G_{y_0})$ como módulo sobre $Ext^\bullet(G_{y_0},G_{y_0})$ es libre, lo que es evidente en su ejemplo.