Encuentra todas las raíces complejas de $T^4-{1/2}T^2-\sqrt{15}T+{69/16}$

Question

Quiero encontrar todas las raíces complejas de $T^4-{1/2}T^2-\sqrt{15}T+{69/16}$ .

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La única forma que se me ocurre para hacerlo es encontrar 1 raíz compleja, $\alpha$ por inspección, así que podemos reordenar el polinomio para que sea $(T-\alpha)(T^3+pT^2+qt+r) $ entonces demostrar que la ecuación cúbica es irreducible por el criterio de Eisenstein. Pero no creo que esto vaya a funcionar, así que cualquier idea sería muy apreciada

Answer 1

Es mejor, creo, probar con $x^4-2x^2-8\sqrt{15}\space x+69$ donde $x=2T$ .

Mediante un tedioso cálculo de coeficientes indeterminados tenemos

$x^4-2x^2-8\sqrt{15}\space x+69=[x^2-2\sqrt {5}\space x +(9-2\sqrt 3)]\cdot[x^2+2\sqrt {5}\space x +(9+2\sqrt 3)]$

Por lo tanto, $x_{1,2}=\sqrt 5\pm\sqrt{4-2\sqrt 3}\space i$ y $x_{3,4}=-\sqrt 5\pm \sqrt{4+2\sqrt 3}\space i$

Así, $$\color{red}{\begin{cases}2T_{1,2}=\sqrt 5\pm\sqrt{4-2\sqrt 3}\space i\\ 2T_{3,4}=-\sqrt 5\pm \sqrt{4+2\sqrt 3}\space i\end{cases}}$$ La verificación puede realizarse mediante

$[(x-\sqrt 5)^2+(\sqrt 3-1)^2][ x+\sqrt 5)^2+(\sqrt 3+1)^2]=x^4-2x^2-8\sqrt{15}\space x+69$ .

Answer 2

Por un método numérico obtenemos $$-1.11803398874615-1.36602540376546I, -1.11803398874615+1.36602540376546I, 1.11803398874615-.366025403832404I, 1.11803398874615+.366025403832404I$$ o ¿quieres las raíces exactas