$\int_0^1 \frac{x^{p}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}} dx=?$

Question

$$\int_0^1 \frac{x^{p}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}} dx=?$$ Intenté usar $$\int_0^1 \frac{x^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}} dx=\frac{1}{2}$$ y la integración por partes. No sé si hay alguna restricción en p.en la pregunta original p=2014,Pregunta de Jalil Hajimir.

Answer 1

Supongamos que $p$ es un número entero positivo. Por supuesto, no lo necesitas tan fuerte.

En primer lugar, observe que \begin{align} I(p) =& \int^1_0 \frac{x^p}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ dx = \int^1_0 \frac{x^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ \frac{dx}{x}\\ =& \int^1_0 \frac{x^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ \frac{(1-x)}{x} dx+ \int^1_0 \frac{x^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ dx\ \ \ \ \ (1)\\ =&\ \int^1_0 \frac{(1-x)^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ \frac{x}{1-x} dx+ \int^1_0 \frac{(1-x)^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ dx\ \ \ \ \ (2) \end{align}

lo que significa \begin{align} 2I(p) = \int^1_0 f(x)+f(1-x)\ dx +1 = 2\int^1_0 f(x)\ dx +1 \end{align} donde \begin{align} f(x) = \frac{x^{p+1}}{x^{p+1}+(1-x)^{p+1}}\ \frac{(1-x)}{x} = \frac{(\frac{1-x}{x})}{1+(\frac{1-x}{x})^{p+1}}. \end{align}

Por lo tanto, \begin{align} I(p) = \int^\infty_0 \frac{u}{(1+u^{p+1})(1+u)^2} du+\frac{1}{2}. \end{align}

El resto lo puedes terminar con la integración de contornos.

Editar: Me doy cuenta de que hice muchos cálculos innecesarios. De hecho, tenemos

\begin{align} I(p) =& \int^1_0 \frac{1}{(1+(\frac{1-x}{x})^{p+1})}\frac{dx}{x} = \int^\infty_0 \frac{du}{(1+u^{p+1})(1+u)} \end{align}

y

\begin{align} \lim_{p\rightarrow \infty}I(p)=\lim_{p\rightarrow \infty}\int^\infty_0 \frac{du}{(1+u^{p+1})(1+u)} =\int^1_0 \frac{du}{1+u} = \ln(2). \end{align}