Encuentre el rango de valores de $p$ si $(\cos p -1)x^{2}+(\cos p)x+\sin p =0$ tiene raíces reales en la variable $x$ .

Question

Encuentre el rango de valores de $p$ si $(\cos p -1)x^{2}+(\cos p)x+\sin p =0$ tiene raíces reales en la variable $x$ . Restringir los valores de $p$ en $[0,2\pi]$ .

La ecuación dada tiene raíces reales si: $$\cos^2 p \geq 4\sin p (\cos p -1)$$ y ahora tenemos que encontrar el rango de valores de $p$ . He intentado manipular la desigualdad pero no he podido encontrar el rango de $p$ . ¿Alguna sugerencia? ¿Hay algún otro método que no sea el uso de la desigualdad?

Gracias...

Answer 1

Como menciono en los comentarios, los valores de $p$ para la que existe(n) una(s) raíz(es) real(es) no es muy "limpia", pero hay un intervalo cíclico dentro del cual se mantiene. Una buena forma de aproximar estos intervalos es graficar el lado derecho y el lado izquierdo para obtener los puntos en los que la igualdad se mantiene, para determinar los puntos finales de los intervalos:

Estos puntos de intersección vienen dados por:

Límite inferior:

En la parte superior