Prueba de la integral $\int{1\over \sqrt{1-x^2}}\,dx$ a través de la sustitución

Question

$\int{1\over \sqrt{1-x^2}}\,dx$

¿Cómo puedo resolver esto sin $\sin$ o $\cos$ ¿sustitución? Quiero probar a utilizar $u$ sustitución porque creo que será más intuitivo para mí. Hasta ahora, he tratado de hacer la función a la potencia de un exponente negativo:

${(\sqrt{1-x^2})}^{-1}$

Intenté hacer $u$ $=$ $1-x^2$ y hacer el método de sustitución, pero sigo obteniendo la respuesta incorrecta; estoy tratando de usar esta integral indefinida para resolver una definida de $1/2$ a $\sqrt{3}$ / $2$ .

Prefiero no usar la sustitución trigonométrica porque quiero hacer esto asumiendo que no sé que es la derivada de $\sin^{-1}x$ .

Answer 1

Dejemos que $y(x)$ definirse en $(-1,1)$ como

$$y(x)=\int_0^x \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,dt\tag1$$

Tenga en cuenta que $y(0)=0$ .

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Diferenciando $(1)$ encontramos que

$$\frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

por lo que vemos que

$$\frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}\tag2$$

Tenga en cuenta que $x'(0)=1$ .

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Diferenciando $(2)$ revela

$$\begin{align} \frac{d^2x}{dy^2}&=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\frac{dx}{dy}\\\\ &=-x\tag3 \end{align}$$

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La solución general de la EDO de $(3)$ es $x(y)=A\sin(y)+B\cos(y)$ . Dado que $x(0)=0$ y $x'(0)=1$ encontramos que $x(y)=\sin(y)$ . Esto implica que $y(x)$ es la función inversa de la función seno.

Denotando esta función inversa $y(x)=\arcsin(x)$ da el resultado

$$\int_0^x \frac1{\sqrt{1-t^2}}\,dt=\arcsin(x)$$

Answer 2

Pruebe la sustitución similar a sí mismo $$x=\frac{1-t}{1+t},\quad t\ge 0$$ $$\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx}=-\int{\frac{1}{\sqrt{t}\left( 1+t \right)}dt}=-2\int{\frac{1}{\left( 1+{{u}^{2}} \right)}du}$$

Answer 3

Realmente no es posible evitar una solución sin trigonometría, ya que la antiderivada es $\arcsin$ y nada más y no es expresable como función racional (aunque tiene una expresión logarítmica en los números imaginarios).

La bonita solución de @logo es correcta, pero estrictamente hablando también debería requerir una sustitución como $u=\tan \theta$ .

De hecho,

$$\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$ debe considerarse una integral elemental tal y como aparece en una tabla de derivadas de las funciones comunes, al igual que, por ejemplo $\dfrac1x$ .

Answer 4

Utilizando el teorema de la función inversa, sabes que la antiderivada será una solución de la EDO

$$y'=\sqrt{1-y^2}.$$

Esto debería hacer sonar la campana de la función seno, para la cual sabemos que $(\sin y)'=\cos y$ y $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}$ .

Entonces,

$$x=\sin y\iff y=\sin^{-1}x.$$