Acotar los coeficientes de ciertas transformaciones de Möbius

Question

Dejemos que $\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ sea una transformación de Möbius, con $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ y $ad-bc=1$ (así $\phi$ puede verse como un elemento de $SL_2(\mathbb{R})$ . Sea $\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}: \Im(z)>0\}$ sea el semiplano superior, y fijar un conjunto compacto $K\subset \mathbb{H}$ . Supongamos que $z,\phi(z)\in K$ . ¿Podemos proporcionar un límite para $a,b,c,d$ dependiendo sólo del conjunto $K$ ?

Desde $K\subset\mathbb{H}$ En particular $K\cap \mathbb{R}=\emptyset$ Así que $K$ está a una distancia positiva del eje real. Como también está acotado, deducimos la existencia de números positivos $r$ y $M$ tal que las desigualdades

$$ r \le |w|\le M$$ $$r\le \Im (w)\le M$$

se mantienen para cada $w\in K$ por lo que se mantienen en particular para $z$ y $\phi(z)$ . He intentado jugar con esto pero no he conseguido nada. También he intentado utilizar el hecho de que $$\Im \phi(z)=\frac{\Im z}{|cz+d|^2}$$ pero sigo recibiendo mensajes en la línea de $(|cz|-|d|)^2\le \frac{M}{r}$ que no puedo usar para dominar $c$ o $d$ . He podido resolver el problema relacionado $|\phi(i)-i|\le \varepsilon \implies |a|,|b|,|c|,|d|\le C_\varepsilon$ donde los cálculos son mucho más sencillos, e intenté utilizar mapas de Möbius adecuados para trasladar el caso general a éste, pero no conseguí que funcionara.

EDIT: He podido conseguir

$$r\le |\Im \phi(z)|=\frac{|\Im z|}{|cz+d|^2}\le \frac{M}{c\Im z}\le \frac{M}{c^2r^2}$$

y así $c$ está acotado. Pero entonces

$$r\le |\Im \phi(z)|\le \frac{M}{|\Re (cz+d)|^2}=\frac{M}{|d+c\Re z|^2}$$

y por lo tanto $|d+c\Re z|\le \left(\frac{M}{r}\right)^{1/2}$ Así que $d$ debe estar acotado, ya que $c$ y $|z|$ son.

Todavía no he podido controlar $a$ y $b$ . Obtención de límites inferiores para $|c|$ y $|d|$ podría ser útil, ya que sabemos que $ad-bc=1$ pero no sé si eso es posible.

Answer 1

Consideremos primero el caso de $z=i \in K.$ Entonces

$$\tag 1 \phi(i) = \frac{ai+b}{ci+d} = \frac{ac+bd+i(ad-bc)}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd+i}{c^2+d^2}.$$

Así que la parte imaginaria de $\phi(i)$ es igual a $1/(c^2+d^2).$ Porque $K$ es compacto, las partes imaginarias de los puntos en $K$ debe estar limitada por encima y por debajo por constantes positivas (dependiendo de $K$ ). Esto implica $c^2+d^2$ también está limitada por encima y por debajo por constantes positivas que dependen de $K$ .

Por otro lado,

$$|\phi(i)| =\frac{|ai+b|}{|ci+d||}= \frac{ (a^2+b^2)^{1/2} }{ (c^2+d^2)^{1/2} }.$$

Desde $|\phi(i)|$ está a su vez limitada por encima y por debajo por constantes positivas (de nuevo en función de $K$ ), lo mismo debe ocurrir con el numerador $(a^2+b^2)^{1/2},$ puesto que ya lo hemos demostrado para el denominador.

Hemos terminado en el caso $z=i.$ Pero creo que el caso general es reducible a este caso. Después de todo, lo que $z,K$ son, sólo estamos fuera por una traslación y una dilatación, la primera acotada y la segunda acotada por arriba y por abajo por constantes positivas (de nuevo dependiendo de $K$ ).