Estoy tratando de resolver el problema $u''+2u'+u=0$ para $u(0)=u_0, u'(0)=u_1$ utilizando la matriz exponencial.
Primero escribí el sistema lineal como $x'_1=x_2$ y $x'_2=-x_1-2x_2$ .
Entonces encontré $e^{At}= $$ \N - Izquierda[ \begin{array}{ c c } (t+1)e^{-t} & te^{-t} \\ -te^{-t} & (1-t)e^{-t} \end{array} \[derecha] $$ $ My book then says that $ \vec{x}=e^{A(t-t_0)}x_0$. Mi pregunta es ¿cómo puedo utilizar esta matriz exponencial y las condiciones iniciales para encontrar la respuesta final?
Gracias.
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$$t_0 = 0, x_0 = (u_0, u_1) \implies \vec{x}=e^{A(t)}x_0 = e^{A t}\left[ \begin{array}{ c c } u_0 \\ u_1 \end{array} \right]$$
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La pregunta no lo pedía, pero una forma interesante de verlo es escribirlo de la forma $(\partial + 1)^2u = 0$ . Definir $v = (\partial + 1)u = u' + u$ , $v(0) = u_0+u_1$ , resolver $(\partial + 1)v = v' + v = 0$ para conseguir $v(x) = (u_0+u_1)e^{-x}$ y te quedas con $u' + u = v$ . La solución homogénea es como antes $u_H=u_0e^{-x}$ , mientras que el particular se puede adivinar que es $u_P=(u_0+u_1)xe^{-x}$ , dando finalmente $u(x) = (u_0+u_1)xe^{-x}+u_0e^{-x}$ .