Suma parcial de $k>2$ enteros positivos consecutivos no tiene solución en primo

Question

Progreso:

Dejemos que $a_1,...,a_k$ una secuencia de $k$ enteros positivos consecutivos. Si $k>2$ , demuestre que ninguna suma parcial de la secuencia $a_1+...+a_k$ tiene una solución en primera.

Hice un intento heurístico y encontré un patrón en la progresión de abajo:

$$x$$ $$x+(x+1)=2x+1$$ $$x+(x+1)+(x+2)=3x+3$$ $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6$$ $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10$$ $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=6x+15$$ $$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)=7x+21$$ $$...$$

Lo que demuestra claramente que después de $2$ cada valor del lado derecho tienden a tener un factor común mayor que $1$ e implica que no pueden ser primos. Aunque, técnicamente no es una prueba, por lo que agradecería cualquier prueba elemental al respecto.

Saludos

Answer 1

La suma $a+(a+1)+\dots + (a+k-1)$ es igual a $\frac{k(2a+k-1)}{2}$ .

Si $k>2$ entonces ambos $k$ y $(2a+k-1)>2$ . Así que su número es el producto de dos números que son mayores que $1$ .