Formulación de la línea mundial de QFT

Question

Formulación existente de la teoría del campo escalar bosónico mediante la acción: $$ S= \frac{1}{2}\int dt\; \sqrt{g}\left(g^{tt} G_{\mu\nu} \partial_t X^\mu \partial_t X^\nu - m^2\right) $$

También existe la formulación de la teoría del campo de Dirac (con supersimetría de la línea del mundo), véase el capítulo 11.9 del libro de Polyakov: $$ S = \frac{1}{2}\int dt \; \mathcal{D}^2 \hat{x}^{\mu}\mathcal{D} \hat{x}_{\mu} $$ Más concretamente, necesitamos utilizar la generalización de esta acción, invariante bajo la supersimetría local.

¿Qué pasa con los campos de espín 1, espín 3/2, espín 2 ....? ¿Son estas teorías supersimétricas en la línea del mundo?

¿Es esta formulación para las teorías topológicas, por ejemplo la teoría de Chern-Simons?

Answer 1

Anteriormente trabajé en el formalismo de la línea del mundo de la teoría cuántica de campos durante algún tiempo, así que puedo responder bien a tu pregunta.

El primer cuantificado La técnica de la línea del mundo se remonta al apéndice del documento fundacional de Feynman sobre la teoría del campo ( segunda cuantificación ), tras lo cual los diagramas de Feynman y la maquinaria de la teoría de campos se hicieron más populares que el primer enfoque cuantificado de la línea del mundo -- véase Phys. Rev. 80, (1950), 440 (QED escalar) y Phys. Rev. 84 (1951), 108 (QED espinor). Más tarde fue retomado por Strassler y desarrollado sustancialmente -- https://arxiv.org/abs/hep-ph/9205205 que rederivaron las reglas de Bern-Kosower encontradas originalmente en el límite de tensión infinito de la teoría de cuerdas.

Los casos anteriores se refieren sobre todo a la QED abeliana escalar y de espinores, pero volviendo a la pregunta del OP, hay extensiones a interacciones no abelianas, descripciones de campos de espín 1, 3/2, 2 y de espín superior, así como formas diferenciales. Los campos con espín distinto de 0 generalmente disfrutan de una supersimetría de línea mundial (y otras simetrías) que han demostrado ser esenciales en su cuantificación.

He encontrado un informe reciente en https://arxiv.org/abs/1912.10004 y recomendamos la revisión clásica en Phys. Rept. 355 (2001) 73-234, [ https://arxiv.org/abs/hep-th/0101036 ]. El reciente informe parece contener mucha información sobre el giro superior y la gravedad. Véanse también los diversos documentos como

• Nucl. B234, 2, (1984), 269
• arXiv 9504097
• arXiv 9312147
• doi 10.1063/1.1665567
• https://arxiv.org/abs/1905.00945
• arXiv 9801105

para diversos recursos centrados en la gravedad, o

• https://arxiv.org/abs/1711.09314
• https://arxiv.org/abs/1603.07929
• https://arxiv.org/abs/1504.03617
• https://arxiv.org/abs/1504.02683
• https://arxiv.org/abs/1103.3993

para simetrías no abelianas y espín superior.

Answer 2

En cuanto a la segunda pregunta suya, sólo hay que tener en cuenta que la siguiente acción de la línea mundial

$$ S=\int d\tau \left(\dot{x}^{\mu}p_{\mu}+l^{\mu}p_{\mu}\right) $$

con $\mu=0$ a $2$ reproduce perturbativamente a Chern-Simons. (Para más detalles ver este ).

Sobre la primera pregunta suya una buena forma de empezar es darse cuenta de que imponer que la supersimetría sea local lleva a $p_{m}\gamma^{m}|\psi\rangle= m |\psi\rangle$ mientras que el difeomorfismo local conduce a $p_{m}p^{m}|\psi\rangle=m^{2}|\psi\rangle$ . Si se quiere describir una partícula con más índices espinoriales hay que añadir más supersimetrías y promover que sean también locales ya que cada índice espinorial debe obedecer la ecuación de Dirac.

Como ejemplo, construyamos una partícula de espín 1 sin masa en $d=10$ . Siguiendo el razonamiento anterior debemos tener dos supersimetrías. En $d=10$ hay dos formas de hacerlo, espinores con la misma quiralidad (Tipo IIB) o con quiralidad opuesta (Tipo IIA). Esto conducirá a los estados:

$$ F^{\alpha}\,_{\beta}=\delta_{\alpha}^{\alpha}F+(\gamma^{mn})^{\alpha}\,_{\beta}F_{mn}+(\gamma^{mnpq})^{\alpha}\,_{\beta} F_{mnpq} $$

$$ F_{\alpha\beta}=\gamma^{m}_{\alpha\beta}F_{m}+\gamma^{mnp}_{\alpha\beta}F_{mnp}+\gamma_{\alpha\beta}^{mnpqr}F_{mnpqr} $$

y dejaré como ejercicio comprobar que la ecuación de Dirac (poniendo $m=0$ ) para ambos índices espinoriales implica que el $F$ son intensidades de campo de campos gauge abelianos. Son los campos de Ramond-Ramond que aparecen en las teorías de supercuerdas de tipo II.

Otro buen ejemplo es una partícula sin masa con espín $s$ en $d=4$ . En este caso tenemos algo parecido:

$$ (\sigma^{\mu})_{\dot\alpha}^{\alpha_1}\partial_{\mu} F_{\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_{2s}}=0,\qquad \partial_{\mu}\partial^{\mu}F_{\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_{2s}}=0 $$

las ecuaciones anteriores describen la intensidad de campo de una partícula sin masa de espín $s$ , donde $F_{\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_{2s}}$ es totalmente simétrica. Esto se puede generalizar de forma obvia para otras dimensiones. A partir de la línea del mundo, estas ecuaciones pueden obtenerse de $2s$ supersimetrías locales más algunas simetrías locales adicionales para deshacerse de los campos de línea mundial no deseados que aparecerán ya que la sumpersimetría de línea mundial requiere igual número de modos bosónicos y fermiónicos.