Estoy tratando de resolver este ejercicio en el texto de análisis de Tao.
Dejemos que $X$ sea un subconjunto de $\mathbf{R}$ sea una función continua. Si $Y$ es un subconjunto de $X$ , demuestran que la restricción $f \mid_Y : Y \to \mathbf{R}$ de $f$ a $Y$ también es una función continua.
Aquí está mi intento de prueba.
Definir el mapa de inclusión $i: Y \to X$ . Desde $f$ es continua por suposición, tenemos \begin{align*} \forall \epsilon > 0, \forall x_0 \in X, \exists \delta > 0, \forall x \in X, |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon. \end{align*} Primero demostramos que $i$ es continua en todo su dominio. Sea $\epsilon > 0$ . Elija un $y_0 \in Y$ . Entonces, por continuidad de $f$ existe $\delta$ tal que para cualquier $y \in Y$ (que también está en $X$ ), $|y - y_0| < \delta$ implica $|i(y) - i(y_0)| < \epsilon$ . Así, $i$ es continua. Como la composición de funciones continuas es continua, $f \circ i$ es continua, pero $f \mid_Y = f \circ i$ . Por lo tanto, la restricción también es continua.
¿Cómo se ve esto? Me preocupa que a la prueba le falte rigor, sobre todo al explicar por qué $i$ es continua. Todo lo que estoy tratando de decir es que el mismo $\delta$ de la continuidad de $f$ debería funcionar para $i$ desde " $\forall x \in X$ " en la definición de continuidad de $f$ ciertamente se aplica a un subconjunto de $X$ .
