Estoy trabajando en un problema en Dummit & Foote y estoy bastante perplejo. El problema dice:
Deje $p$ ser una de las primeras y deje $F$ ser un campo. Deje $K$ ser una extensión de Galois de $F$ cuyo Galois grupo es una $p$-grupo (es decir, el grado $[K:F]$ es una potencia de $p$). Tal la extensión se llama un $p$-extensión (tenga en cuenta que $p$-extensiones de Galois por la definición).
Deje $L$ $p$- extensión de la $K$. Demostrar que la Galois cierre de $L$ $F$ $p$- extensión de la $F$.
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
El uso de la torre de la ley que puede fácilmente mostrar que $L$ $p$ extensión de $F$, por lo que tenemos $[L:F]=p^{\ell}$ para algunos entero $\ell$. Entonces si $M$ es el Galois cierre de $L$ $F$ $$[M:F]=[M:L][L:F]$$ and therefore $[ M:F]=p^{\ell}n$ for some integer $n$ that is not divisible by $p$. So $[M:L]=$n.
A partir de aquí parece que quiere demostrar que cualquiera de las $n=1$ o que $n$ es de hecho un poder de $p$. Simplemente no veo cómo proceder. He considerado el uso de los Teoremas de Sylow, pero no estoy seguro de lo que realmente funcionan. También me doy cuenta de que esta afirmación depende de $K$ Galois sobre $F$ pero no puedo averiguar cómo tomar ventaja de eso.
