informática $\int _{-1}^1\:\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2+1}$ utilizando el cálculo de residuos

Question

¿Cómo puedo calcular la siguiente integral utilizando el cálculo de residuos? Parece que no puedo calcularla ya que el punto de singularidad está en el límite del contorno...

Answer 1

Dejemos que $I$ sea la integral dada por

$$I=\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}\,dx \tag1$$

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Para evaluar $(1)$ utilizando el análisis complejo, analizaremos la integral $J$

$$J=\int_C \frac{\sqrt{1-z^2}}{1+z^2}\,dz \tag2$$

donde $C$ es el clásico "contorno de hueso de perro". ( Vea otros ejemplos aquí y aquí para una cartilla con detalles ).

Cortaremos el plano de $-1$ a $1$ tal que

$$\sqrt{1-z^2}=-i\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}$$

con $-\pi <\arg(z-1)\le \pi$ y $-\pi <\arg(z+1)\le \pi$ .

Tenga en cuenta que en $\mathbb{C}\setminus [-1,1]$ , $f(z)$ es meromorfa con polos en $z=\pm i$ .

Entonces, utilizando el Teorema del Residuo y el Teorema Integral de Cauchy, podemos escribir $(2)$ como

$$\begin{align} J&=2\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}\,dx\\\\ &=2\pi i\text{Res}\left(\frac{\sqrt{1-z^2}}{1+z^2}, z=\pm i\right) -\int_0^{2\pi}\frac{\sqrt{1-R^2e^{i2\phi}}}{1+R^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\tag 3 \end{align}$$

donde las contribuciones de las integrales alrededor de los "pequeños" contornos circulares centrados en $\pm1$ desaparecen a medida que sus radios se acercan $0$ .

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Los residuos en $z=i$ y $z=-i$ son iguales y vienen dadas por

$$\text{Res}\left(\frac{\sqrt{1-z^2}}{1+z^2}, z=\pm i\right)=\frac{\sqrt{2}}{2i}$$

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La integral sobre $\phi$ como $R\to \infty$ se convierte (nótese que esto es equivalente a $2\pi i$ veces el residuo en el infinito)

$$\lim_{R\to \infty}\int_0^{2\pi}\frac{\sqrt{1-R^2e^{i2\phi}}}{1+R^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi=-i2\pi $$

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Si lo ponemos todo junto, vemos que

$$\begin{align} 2\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}\,dx&=2\pi i \frac{2\sqrt 2}{2i}-2\pi\\\\ &=2\pi (\sqrt 2-1) \end{align}$$

con lo que dividiendo por $2$ da lugar a la codiciada integral

$$I=\pi(\sqrt 2-1)$$