El espacio tangente del espacio de móduli de la conexión.

Question

Estoy leyendo uno de los papeles de Floer. (Un invariante para instantones de 3-variedades). Sea $M$ una 3-variedad. Un fibrado principal $SU_2$ P sobre $M$ debe ser trivial. Fijemos una trivialización $P \cong M \times SU_2$ y podemos considerar el espacio de conexiones como formas de 1 $su_2$-valuadas en $M$. Denotamos $L_1^4(\Omega^1(M)\otimes su_2)$ por $\mathcal{A}(M)$. El grupo de gauge $L_1^4(M,SU_2)$ (denotado por $\mathcal{G}(M)$) actúa en $\mathcal{A}(M)$ por

$$ g(a) = g a g^{-1} + (dg) g^{-1}.$$

Denotamos $\mathcal{A}(M)/\mathcal{G}(M)$ por $\mathcal{B}(M)$. Para $a \in \mathcal{A}(M)$ tal que $\operatorname{Fix}(a)$ es el centro $ \mathbb{Z}_2$. Hay una identificación para el espacio tangente

$$ T_{[a]} \mathcal{B}(M) = \{ \alpha \in L(\Omega(M) \otimes su_2) | d_a^\ast \alpha = 0 \}$$

donde $d_a$ extiende $d$ en $M$ por la conexión $a$ y $d_a^\ast$ es su adjunto $L^2$.

¿Cómo podemos obtener la identificación para el espacio tangente? ¿O hay algún otro texto más detallado sobre este tipo de objetos? (Espacios de móduli, variedades de Banach, etc.)

Gracias.

Answer 1

Cuando tienes una variedad cociente $M/G$, siendo $G$ un grupo de Lie, si el espacio tangente a la órbita en $a$ se denota por $V_a$, puedes identificar el espacio tangente $T_{[a]}(M/G) \cong T_aM/V_a$. Si $M$ además tiene una métrica riemanniana, puedes identificar $V_a^\perp \cong T_aM/V_a.

Este caso no es diferente. $\mathcal A$ es el espacio de conexiones en $E$, afín sobre el espacio $\Omega^1(\text{End}(E)) \cong \Omega^1(\mathfrak{su}(2))$ (porque $E$ es trivial) y, por lo tanto, su espacio tangente en algún punto es $\Omega^1(\mathfrak{su}(2)). El espacio tangente al grupo de Lie $\mathcal G$ en la identidad es $\Omega^0(\mathfrak{su}(2))$. La acción del grupo de Lie de $\mathcal G$ en $\mathcal A$ tiene derivada en $A$ igual a $\alpha \mapsto d_A \alpha$. Así que la imagen de esto (el espacio tangente a la órbita) es igual a la imagen de $d_A$. Por lo tanto, podemos identificar $T_{[A]} \mathcal B$ con $\Omega^1(\mathfrak{su}(2))/d_A\Omega^0(\mathfrak{su}(2)). Ahora (como arriba, nuevamente) $\mathcal A$ tiene una métrica riemanniana - $\langle \nu, \xi \rangle = \int \text{Tr}(\nu \wedge \ast \xi)$. (Esto solo significa que es el producto interno $L^2$ con respecto al producto interno estándar en $\mathfrak{su}(2)$ - quizás hasta una constante que estoy olvidando). Con respecto a este producto interno, el complemento ortogonal de la imagen de $d_A$ es (más o menos por definición) el núcleo de $d_A^*$. Así que obtenemos nuestra identificación canónica $T_{[A]} \mathcal B = \text{ker } d_A^* \subset \Omega^1(\mathfrak{su}(2)), como se deseaba.