Integral doble sobre un paralelogramo

Question

Entiendo el concepto general de las integrales dobles, pero no entiendo cómo cambiar las coordenadas linealmente, y qué hacer a partir de ahí.

Encuentre $$\int\int_P(x+y)dxdy$$ Dónde $$P$$ es un paralelogramo con vértices $(0,0), (3,2), (2,4) ,(5,6)$ (Sugerencia: Cambia las coordenadas linealmente).

Gracias

Answer 1

pista : Dejemos que $O = (0,0), P = (2,4), Q = (5,6), S = (3,2)$ . Puedes escribir ecuaciones para las líneas: $\overline{OP}: 2x-y = 0, \overline{OS}: 2x-3y = 0, \overline{PQ}: 2x-3y = -8, \overline{SQ}: 2x-y = 4$ . Ahora haz la sustitución: $u = 2x-y, v = 2x-3y$ . ¿Puede pasar al siguiente paso?

Answer 2

Dibujar $P$ en el $xy$ avión.

Si quiere integrar primero con respecto a $x$ , fijar un $\eta$ en $[0,5]$ y dibujar la línea vertical $x=\eta$ . De abajo a arriba, vea a qué valores, según $y$ Esta línea vertical pasa por $P$ . Para obtener el primer valor, hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por los vértices $(0,0)$ y $(3,2)$ de $P$ . Una vez que tengas esta ecuación, escríbela en la forma $x=L(y)$ . Entonces $L(y)$ es el límite inferior de la primera integral iterada (con respecto a $x$ expresado en términos de $y$ ). Obtenga el límite superior de forma similar. Nótese que $y$ va de $0$ a $6$ que serán los límites de la integral exterior iterada (con respecto a $y$ ).

La misma estrategia se aplica si se quiere integrar primero con respecto a $y$ ,