Dejemos que $f(x, y)=ax+by+c$ . Encuentre el mayor valor de $r$ tal que $f(x, y)>0$ para todos los pares $(x, y)$ Satisfaciendo a $x^2 + y^2 < r^2$ ?

Question

Dejemos que $f(x, y) = ax + by + c$ , donde $\{a, b, c\} \subset\mathbb R$ y $c > 0$ . Encuentre el mayor valor de $r$ tal que $f(x, y) > 0$ para todos los pares $(x, y)$ Satisfaciendo a $x^2 + y^2 < r^2$ .

He intentado esta pregunta muchas veces, pero no he podido encontrarla. No sé por dónde tengo que empezar.

Estaba tomando el radio $r= 1$ , $x= \frac{1}{2}$ y $y =\frac{1}{2}$ posiblemente no tiene sentido tomar este valor porque nunca es menor que $1$ como $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}= 1$ por lo que se contradice.

Si alguien me ayuda le estaría muy agradecido.

Answer 1

Por C-S $$r^2>x^2+y^2=\frac{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}{a^2+b^2}\geq\frac{(ax+by)^2}{a^2+b^2}.$$ Así, $$-r\sqrt{a^2+b^2}<ax+by<r\sqrt{a^2+b^2}$$ o $$c-r\sqrt{a^2+b^2}<ax+by+c<c+r\sqrt{a^2+b^2}.$$ Por lo tanto, necesitamos $$c-r\sqrt{a^2+b^2}\geq0$$ o $$r\leq\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Answer 2

Obsérvese que el gráfico de $z=ax+by+c$ es un plano que tiene $z$ -interceptar en $(0,0,c)$ . En función de los signos de los coeficientes de $a,b$ Hay cuatro casos de $x,y$ -intercepta en $(\frac{c}{a},0,0), (0,\frac{c}{b},0)$ .

La restricción es un círculo con el radio $r$ y centro en el origen, que ( $r$ ) debe ser menor que la distancia a la línea que pasa por el $x,y$ -para que el plano esté por encima de la $XY$ plano (es decir $f(x,y)>0$ ). Así: $$r<\frac{\bigg{|} \frac{c}{a} \bigg{|} \cdot \bigg{|} \frac{c}{b} \bigg{|} }{\sqrt{\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2}}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$